熊本大学 2019年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

座標平面上の2直線を

l : y = a x - a - 2, m : y = b x + 3 b

とおく．直線 $l$ と直線 $m$ は，互いに直交するという条件を保ちながら動くものとする．ただし， $a, b$ は実数値をとる．以下の問いに答えよ．

(問1) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点 $P$ の軌跡を求めよ．(問2) 2点

A = (1, - 2), B = (- 3, 0)

に対して，線分 $A P$ および線分 $B P$ の長さを $a$ を用いて表せ．(問3) 三角形 $A P B$ の面積が最大となるときの $a$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文理共通第4問

方針

解法1

直線 $l$ は点 $A (1, - 2)$ ，直線 $m$ は点 $B (- 3, 0)$ を通る。直交条件から $ab = - 1$ として交点を $a$ で表す。軌跡は $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ から直径 $A B$ の円であり，有限の傾きをもつ直線で表せない2点を除く。面積は $A P \cdot B P /2$ を最大化する。

解法2

交点 $P = (x, y)$ で $A P \cdot B P = 0$ として軌跡を求める。面積は $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ から最大化する。

解答

解法1

(問1)

直線 $l$ は点 $A (1, - 2)$ を通り，直線 $m$ は点 $B (- 3, 0)$ を通る。また直交条件より

ab = - 1

である。したがって $P$ では $A P ⊥ B P$ であるから， $P$ は線分 $A B$ を直径とする円上にある。 $A B$ の中点は $(- 1, - 1)$ ，半径は $5$ であるから

(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 5

である。ただし， $l, m$ はいずれも有限の傾きをもつ直線であるため， $(1, 0)$ と $(- 3, - 2)$ は除かれる。(問2) $b = - \frac{1}{a}$ である。交点 $P = (x, y)$ は

a (x - 1) - 2 = - \frac{1}{a} (x + 3)

を満たすので

x = \frac{a ^{2} + 2 a - 3}{a ^{2} + 1}, y = - \frac{2 ( 2 a + 1 )}{a ^{2} + 1}

である。よって

x - 1 = \frac{2 ( a - 2 )}{a ^{2} + 1}, x + 3 = \frac{2 a ( 2 a + 1 )}{a ^{2} + 1}

であるから

A P = \frac{2∣ a - 2∣}{a ^{2} + 1}, B P = \frac{2∣2 a + 1∣}{a ^{2} + 1}

である。(問3) $A P ⊥ B P$ より

[△ A P B] = \frac{1}{2} A P \cdot B P = \frac{2∣ ( a - 2 ) ( 2 a + 1 ) ∣}{a ^{2} + 1}

である。一方，(問1)の円の中心は線分 $A B$ 上にあり，半径は $5$ である。したがって面積は， $P$ から直線 $A B$ への距離が半径 $5$ となるとき最大になる。

直線 $A B$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ であるから，中心 $(- 1, - 1)$ を通り $A B$ に垂直な直線は傾き $2$ である。この直線と円の交点は

(0, 1), (- 2, - 3)

である。これらを点 $A (1, - 2)$ と結んだ直線の傾きがそれぞれ

- 3, \frac{1}{3}

であるから，求める $a$ は

a = - 3, \frac{1}{3}

である。

解法2

(問1)

$P = (x, y)$ とする。 $l$ は $A = (1, - 2)$ 、 $m$ は $B = (- 3, 0)$ を通り、両直線は直交するから

A P \cdot B P = 0.

すなわち

(x - 1) (x + 3) + (y + 2) y = 0,

したがって

(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 5. (1)

これは線分 $A B$ を直径とする円である。ただし $P = (1, 0)$ では $l$ が、 $P = (- 3, - 2)$ では $m$ が鉛直線となり、問題の式では表せないので除く。

(問2)

直交条件から $ab = - 1$ 、特に $a \neq = 0$ である。 $b = - 1/ a$ として2直線を連立すると

P = (\frac{a ^{2} + 2 a - 3}{a ^{2} + 1}, - \frac{2 ( 2 a + 1 )}{a ^{2} + 1}) .

したがって

A P = \frac{2 ( a - 2 )}{a ^{2} + 1} (1, a), B P = \frac{2 ( 2 a + 1 )}{a ^{2} + 1} (a, - 1) .

よって

A P = \frac{2∣ a - 2∣}{a ^{2} + 1}, B P = \frac{2∣2 a + 1∣}{a ^{2} + 1} .

(問3)

三角形 $A P B$ は $P$ を直角とし、

A P^{2} + B P^{2} = A B^{2} = 20.

また

(A P - B P)^{2} ≧ 0

より $2 A P \cdot B P ≦ 20$ である。したがって

[△ A P B] = \frac{1}{2} A P \cdot B P ≦ 5,

等号は $A P = B P$ のときに成り立つ。(問2)の式から

(a - 2)^{2} = (2 a + 1)^{2}

を解くと

a = - 3, a = \frac{1}{3} .

この2値はいずれも許されるので、求める値はこの二つである。

熊本大学 2019年度文理共通数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
文理共通数学第4問