熊本大学 2019年度文理共通数学第2問解答・解説

問題

1個のさいころを投げて，出た目の数を $a$ とする． $b$ を

b = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a}{2} \frac{a + 3}{2} (a が偶数のとき), (a が奇数のとき)

と定める．以下の問いに答えよ．

(問1) $a > b$ となる確率を求めよ．

(問2)

sin \frac{π}{5} > 0.5, cos \frac{π}{5} < 0.9

を示せ．

(問3)

S = cos \frac{π}{a} + sin \frac{π}{b}

とおく． $a > b$ であるとき， $S < 1.7$ となる条件付き確率を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期文理共通第2問

方針

解法1

さいころの各目について $b$ と $a > b$ の成否を表にする。三角関数の不等式は単位円上の単調性と $cos (π /5) = (1 + 5) /4$ を用いる。条件付き確率では $a > b$ となる4通りに絞り、 $S < 1.7$ を各場合で判定する。

解法2

三角関数の値を小数化せず、 $θ = π /5$ に対する三倍角と二倍角の関係から $cos θ$ を導く。条件 $a > b$ の4事象は厳密な平方比較で $S < 17/10$ を判定する。

解答

解法1

(問1)

$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対する $b$ は順に

2, 1, 3, 2, 4, 3

である。したがって $a > b$ となるのは $a = 2, 4, 5, 6$ の4通りであるから、求める確率は

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

である。

(問2)

$0 < π /6 < π /5 < π /2$ であり、この範囲で $sin x$ は増加するから

sin \frac{π}{5} > sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

である。また

cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4}

であり、 $5 < 2.6$ より

cos \frac{π}{5} < \frac{3.6}{4} = 0.9

である。

(問3)

(問1)より、 $a > b$ のもとで起こり得る $(a, b)$ は

(2, 1), (4, 2), (5, 4), (6, 3)

の4通りであり、いずれも同じ確率で起こる。それぞれの $S$ は

0, 1 + \frac{2}{2}, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2}, 3

である。ここで

1 + \frac{2}{2} > 1.7, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2} < 0.9 + 0.8 = 1.7, 3 > 1.7

である。したがって $S < 1.7$ となるのは $(2, 1)$ と $(5, 4)$ の2通りであり、求める条件付き確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

である。

解法2

(問1)

各目に対する $b$ と条件の成否を整理すると

a b a > b 12 \times 21 \circ 33 \times 42 \circ 54 \circ 63 \circ

である。したがって確率は $2/3$ である。

(問2)

$π /6 < π /5 < π /2$ と、この区間での正弦の増加性から

sin \frac{π}{5} > sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} .

次に $θ = π /5$ 、 $c = cos θ$ とおく。 $3 θ = π - 2 θ$ だから

4 c^{3} - 3 c = cos 3 θ = - cos 2 θ = - (2 c^{2} - 1) .

よって

(c + 1) (4 c^{2} - 2 c - 1) = 0.

$c > 0$ より

cos \frac{π}{5} = c = \frac{1 + 5}{4} .

$5 < (13/5)^{2}$ なので $5 < 13/5$ であり、

cos \frac{π}{5} < \frac{1 + 13/5}{4} = \frac{9}{10} .

(問3)

条件 $a > b$ のもとでの $(a, b)$ は

(2, 1), (4, 2), (5, 4), (6, 3)

の4通りで、条件付きでは同確率である。それぞれの $S$ は

0, 1 + \frac{2}{2}, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2}, 3 .

ここで $2 > 7/5$ 、 $2 < 8/5$ 、 $3 > 17/10$ は両辺を2乗して確かめられる。したがって

1 + \frac{2}{2} > \frac{17}{10}, cos \frac{π}{5} + \frac{2}{2} < \frac{9}{10} + \frac{4}{5} = \frac{17}{10} .

よって条件を満たすのは $(2, 1), (5, 4)$ の2通りで、求める条件付き確率は

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

である。

熊本大学 2019年度文理共通数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
文理共通数学第2問