熊本大学 2019年度 前期文系数学 第4問

(問1)
直線 $l$ は点 $A(1,-2)$ を通り，直線 $m$ は点 $B(-3,0)$ を通る。また直交条件より$$ab=-1$$である。したがって $P$ では $AP\perp BP$ であるから，$P$ は線分 $AB$ を直径とする円上にある。$AB$ の中点は $(-1,-1)$，半径は $\sqrt{5}$ であるから$$(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=5$$である。ただし，$l,m$ はいずれも有限の傾きをもつ直線であるため，$(1,0)$ と $(-3,-2)$ は除かれる。
(問2)
$b=-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ である。交点 $P=(x,y)$ は$$a(x-1)-2=-\frac{1}{a}(x+3)$$を満たすので$$x=\frac{a^2+2a-3}{a^2+1},y=-\frac{2(2a+1)}{a^2+1}$$である。よって$$x-1=\frac{2(a-2)}{a^2+1},x+3=\frac{2a(2a+1)}{a^2+1}$$であるから$$AP=\frac{2\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+1}},BP=\frac{2\mathrm{\mid }2a+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+1}}$$である。
(問3)
$AP\perp BP$ より$$[\mathrm{△}APB]=\frac{1}{2}AP\cdot BP=\frac{2\mathrm{\mid }(a-2)(2a+1)\mathrm{\mid }}{a^2+1}$$である。一方，(問1)の円の中心は線分 $AB$ 上にあり，半径は $\sqrt{5}$ である。したがって面積は，$P$ から直線 $AB$ への距離が半径 $\sqrt{5}$ となるとき最大になる。

直線 $AB$ の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ であるから，中心 $(-1,-1)$ を通り $AB$ に垂直な直線は傾き $2$ である。この直線と円の交点は$$(0,1),(-2,-3)$$である。これらを点 $A(1,-2)$ と結んだ直線の傾きがそれぞれ$$-3,\frac{1}{3}$$であるから，求める $a$ は$$a=-3,\frac{1}{3}$$である。

交点 $P=(x,y)$ で $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ として軌跡を求める。面積は $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$ から最大化する。

(問1)
$P=(x,y)$ とする。$l$ は $A=(1,-2)$、$m$ は $B=(-3,0)$ を通り、両直線は直交するから$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0.$$すなわち$$(x-1)(x+3)+(y+2)y=0,$$したがって$$\begin{array}{cccc}& (x+1{)}^2+(y+1{)}^2=5.& & \text{(1)}\end{array}$$これは線分 $AB$ を直径とする円である。ただし $P=(1,0)$ では $l$ が、$P=(-3,-2)$ では $m$ が鉛直線となり、問題の式では表せないので除く。

(問2)
直交条件から $ab=-1$、特に $a\mathrm{\ne }0$ である。$b=-1\mathrm{/}a$ として2直線を連立すると$$P=(\frac{a^2+2a-3}{a^2+1},-\frac{2(2a+1)}{a^2+1})\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{AP}=\frac{2(a-2)}{a^2+1}(1,a),\overrightarrow{BP}=\frac{2(2a+1)}{a^2+1}(a,-1)\mathrm{.}$$よって$$AP=\frac{2\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+1}},BP=\frac{2\mathrm{\mid }2a+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+1}}\mathrm{.}$$(問3)
三角形 $APB$ は $P$ を直角とし、$$A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2=20.$$また$$(AP-BP{)}^2\geqq 0$$より $2AP\cdot BP\leqq 20$ である。したがって$$[\mathrm{△}APB]=\frac{1}{2}AP\cdot BP\leqq 5,$$等号は $AP=BP$ のときに成り立つ。(問2)の式から$$(a-2{)}^2=(2a+1{)}^2$$を解くと$$a=-3,a=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$この2値はいずれも許されるので、求める値はこの二つである。