熊本大学 2020年度 前期数学① 第3問

3直線の交点を求めると、$D_n$ は$$(n,0),(n,n),(4n,3n)$$を頂点とする三角形である。

(1)

(3) の一般式を先に得れば直ちに計算できるが、$n=3$ を直接数えてもよい。(3) の結果から$$L_3=\frac{(3+1)(3\cdot 3+2)}{2}=22.$$(2)

$x=n+3k$ 上で、下側の直線 $y=x-n$ は$$y=3k,$$上側の直線 $$y=\frac{2}{3}x+\frac{n}{3}$$ は$$y=n+2k$$となる。交わる範囲は $0\leqq k\leqq n$ であり、両端を含む整数 $y$ の個数は$$(n+2k)-3k+1=n-k+1\mathrm{.}$$(3)

$x=n+j$ と置くと $0\leqq j\leqq 3n$ である。下端は $y=j$、上端は $y=n+2j\mathrm{/}3$ である。

$j=3k$ の列は (2) より $n-k+1$ 個である。さらに$$\begin{array}{ccc}j& \text{上端以下の最大整数}& \text{格子点数}\\ 3k+1& n+2k& n-k\\ 3k+2& n+2k+1& n-k\end{array}$$となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L_n}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n(n-k+1)+2\sum _{k=0}^{n-1}(n-k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)}{2}+n(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(3n+2)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$

各整数 $x=n+j$ に対する格子点数を、上端の床関数を使って1本の式にする。$j=3k,3k+1,3k+2$ の3項を一組にして床関数の和を計算する。

(1)

$n=3$ のとき $j=0,1,\dots ,9$ であり、各縦列の格子点数は$$4,3,3,3,2,2,2,1,1,1$$となる。よって$$L_3=4+3+3+3+2+2+2+1+1+1=22.$$(2)

$j=3k$ を代入すると、格子点の $y$ 座標は$$3k\leqq y\leqq n+2k\mathrm{.}$$したがって個数は $n-k+1$ である。

(3)

一般の $j$ に対する個数を $N_j$ とすると、$$N_j=\lfloor n+\frac{2j}{3}\rfloor -j+1=n+1-j+\lfloor \frac{2j}{3}\rfloor \mathrm{.}$$ここで $0\leqq k\leqq n-1$ に対し、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_{3k}}& {\displaystyle =n-k+1,}\\ {\displaystyle N_{3k+1}}& {\displaystyle =n-k,}\\ {\displaystyle N_{3k+2}}& {\displaystyle =n-k\mathrm{.}}\end{array}$$最後の列 $j=3n$ には1点あるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L_n}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}\{(n-k+1)+(n-k)+(n-k)\}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{r=1}^n(3r+1)+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3n(n+1)}{2}+n+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(3n+2)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$この式へ $n=3$ を代入しても22となり、(1) と一致する。