熊本大学 2019年度理系数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

赤球と白球の2色の球を用いて行うゲームがある．手元にある球全体に対する赤球の比率が $p$ であるとき，確率 $p^{2}$ でゲームに勝つものとする． $n$ を2以上の整数とし，赤球，白球ともに $n$ 個入っている箱から $n$ 個の球を取り出してゲームを行った．以下の問いに答えよ．

(問1) $k$ を $0 ≦ k ≦ n$ を満たす整数とする．取り出した $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個となる確率が

\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}}

であることを示せ．(問2) $k$ を $1 ≦ k ≦ n$ を満たす整数とする．取り出した $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個となり，さらにゲームに勝つ確率が

\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}}

であることを示せ．(問3) ゲームに勝つ確率が

\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )}

であることを示せ．

出典：熊本大学 2019年度前期理系第4問

方針

解法1

赤球が $k$ 個となる取り出し方を，赤球と白球からそれぞれ選ぶ方法で数える。問2では問1の確率に勝つ確率 $(k / n)^{2}$ を掛け，組合せの基本恒等式で指定形へ変形する。問3は $k$ について和を取り，二つの $n - 1$ 個の集合から $n - 1$ 個を選ぶ数え上げで和を処理する。

解法2

問1・問2は組合せを『指定した赤球を含む選び方』へ変形する。問3では勝率 $p^{2}$ を、手元の球から復元抽出で2回とも赤球を引く確率と読み替え、同じ球を2回指定する場合と異なる2球を指定する場合を直接数える。

解答

解法1

(問1)

取り出す $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個であるには，赤球 $n$ 個から $k$ 個，白球 $n$ 個から $n - k$ 個を選べばよい。したがってその取り出し方は

_{n} C_{k}_{n} C_{n - k} = (_{n} C_{k})^{2}

通りである。全体の取り出し方は $_{2 n} C_{n}$ 通りであるから，求める確率は

\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}}

である。(問2)赤球が $k$ 個であるとき，手元の球全体に対する赤球の比率は $\frac{k}{n}$ であるから，ゲームに勝つ確率は $(\frac{k}{n})^{2}$ である。よって求める確率は

\frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}} (\frac{k}{n})^{2}

である。ここで

_{n} C_{k} = \frac{n}{k}_{n - 1} C_{k - 1},_{2 n} C_{n} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n}_{2 n - 2} C_{n - 1}

であるから，上の確率は

\frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}}

である。(問3)ゲームに勝つ確率は，(問2)を $k = 1, 2, \dots, n$ について加えればよい。ここで

k = 1 \sum n (_{n - 1} C_{k - 1})^{2} =_{2 n - 2} C_{n - 1}

である。実際，左辺は二つの $n - 1$ 個の集合から合計 $n - 1$ 個を選ぶとき，一方から $k - 1$ 個，他方から $n - k$ 個を選ぶ場合に分けて数えたものである。したがって

k = 1 \sum n \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}} = \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )}

である。

解法2

(問1)

赤球から $k$ 個、白球から $n - k$ 個を選ぶので

Pr (K = k) = \frac{_{n} C _{k} _{n} C _{n - k}}{_{2 n} C _{n}} = \frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}} .

(問2)

$K = k$ のとき勝率は $(k / n)^{2}$ だから

Pr (K = k, 勝) = \frac{( _{n} C _{k} ) ^{2}}{_{2 n} C _{n}} \frac{k ^{2}}{n ^{2}} .

ここで $k_{n} C_{k} = n_{n - 1} C_{k - 1}$ を両方の組合せに使い、さらに

_{2 n} C_{n} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n}_{2 n - 2} C_{n - 1}

を使えば、

Pr (K = k, 勝) = \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} \cdot \frac{( _{n - 1} C _{k - 1} ) ^{2}}{_{2 n - 2} C _{n - 1}} .

(問3)

手元の $n$ 球から復元抽出で2回球を指定し、2回とも赤球なら勝ち、と考える。この条件付き確率は確かに $p^{2}$ である。指定する位置の順序対は全部で $n^{2}$ 通りある。同じ位置を2回指定する順序対は $n$ 通りで、その球が赤である確率は $1/2$ である。異なる位置を指定する順序対は $n (n - 1)$ 通りで、その2球がともに赤である確率は

\frac{n}{2 n} \cdot \frac{n - 1}{2 n - 1} = \frac{n - 1}{2 ( 2 n - 1 )} .

したがって勝つ確率は

\frac{1}{n ^{2}} {n \cdot \frac{1}{2} + n (n - 1) \cdot \frac{n - 1}{2 ( 2 n - 1 )}} = \frac{1}{2 n} (1 + \frac{( n - 1 ) ^{2}}{2 n - 1}) = \frac{n}{2 ( 2 n - 1 )} .

熊本大学 2019年度理系数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
理系数学第4問（医学部医学科）