熊本大学 2019年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

座標平面上の曲線

C : y = x sin 3 x + 3 x^{2} (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

を考える．曲線 $C$ の接線で原点を通るものを $l$ とし，その接点の $x$ 座標を $a$ とする．ただし

0 < a < \frac{π}{2}

とする．以下の問いに答えよ．

(問1) $a$ の値を求めよ．

(問2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の座標をすべて求めよ．

(問3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2019年度前期理系第4問

方針

解法1

原点を通る接線条件を $y (a) = a y^{'} (a)$ として立式し， $cos 3 a = - 1$ を得る。共有点は $x = 0$ と $sin 3 x + 3 x = π$ の解であり，導関数が非負であることから一意性を示す。面積は直線と曲線の上下関係を確認して積分する。

解法2

直線と曲線の縦の差を $F (x) = x (π - 3 x - sin 3 x)$ とまとめる。括弧内の導関数を半角公式で負の平方に直すと、共有点の一意性と上下関係を同時に示せる。面積は $t = 3 x$ で一つの表示積分に整理する。

解答

解法1

(問1)

$y = x sin 3 x + 3 x^{2}$ とおくと

y^{'} = sin 3 x + 3 x cos 3 x + 6 x

である。接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接線が原点を通る条件は

\frac{a sin 3 a + 3 a ^{2}}{a} = sin 3 a + 3 a cos 3 a + 6 a

である。 $a > 0$ より，これは

cos 3 a = - 1

と同値である。 $0 < a < \frac{π}{2}$ より $0 < 3 a < \frac{3 π}{2}$ であるから

3 a = π

であり，

a = \frac{π}{3}

である。

(問2)

(問1)より接線 $l$ の傾きは

\frac{a sin 3 a + 3 a ^{2}}{a} = π

であるから， $l : y = π x$ である。共有点は

x sin 3 x + 3 x^{2} = π x

を満たす。 $x = 0$ は解である。 $x > 0$ のときは

sin 3 x + 3 x = π

である。 $g (x) = sin 3 x + 3 x$ とおくと

g^{'} (x) = 3 (1 + cos 3 x) ≧ 0

であるから， $g (x)$ は増加する。 $g (\frac{π}{3}) = π$ より， $x > 0$ の解は $x = \frac{π}{3}$ のみである。したがって共有点は

(0, 0), (\frac{π}{3}, \frac{π ^{2}}{3})

である。

(問3)

$0 < x < \frac{π}{3}$ では $sin 3 x + 3 x < π$ であるから，直線 $l$ は曲線 $C$ より上にある。よって求める面積は

\int_{0}^{π /3} {π x - (x sin 3 x + 3 x^{2})} d x

である。部分積分により

\int_{0}^{π /3} x sin 3 x d x = \frac{π}{9}

であるから，面積は

\frac{π ^{3}}{18} - \frac{π}{9} - \frac{π ^{3}}{27} = \frac{π ( π ^{2} - 6 )}{54}

である。

解法2

(問1)

$f (x) = x sin 3 x + 3 x^{2}$ とする。接点 $x = a$ において原点を通る接線をもつ条件は

f (a) = a f^{'} (a) .

ここで

f^{'} (x) = sin 3 x + 3 x cos 3 x + 6 x

だから、 $a > 0$ を用いて整理すると

3 a^{2} (1 + cos 3 a) = 0.

したがって $cos 3 a = - 1$ であり、指定範囲から

a = \frac{π}{3} .

接線の傾きは $f (a) / a = π$ なので

l : y = π x . (1)

(問2)

直線と曲線の縦の差を

F (x) = π x - f (x) = x H (x), H (x) = π - 3 x - sin 3 x

とおく。

H^{'} (x) = - 3 (1 + cos 3 x) = - 6 cos^{2} \frac{3 x}{2} ≦ 0.

したがって $H$ は減少し、 $H (π /3) = 0$ だから、 $x > 0$ での解は $x = π /3$ だけである。 $x = 0$ も解なので、共有点は

(0, 0), (\frac{π}{3}, \frac{π ^{2}}{3}) .

(問3)

$0 < x < π /3$ では $H (x) > 0$ 、すなわち直線が上側である。 $t = 3 x$ と置けば、求める面積 $A$ は

A = \int_{0}^{π /3} x (π - 3 x - sin 3 x) d x = \frac{1}{9} \int_{0}^{π} t (π - t - sin t) d t = \frac{1}{9} (\frac{π ^{3}}{6} - π) = \frac{π ( π ^{2} - 6 )}{54} .

熊本大学 2019年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2019年度
理系数学第4問（理工系）