熊本大学 2020年度 前期数学① 第2問

(1)

$g(a)=g(b)=g(c)=0$ だから、各根では $f=-g^{\mathrm{\prime }}$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =(a-b)(a-c)>0,}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(b)}& {\displaystyle =(b-a)(b-c)<0,}\\ {\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(c)}& {\displaystyle =(c-a)(c-b)>0.}\end{array}$$よって$$f(a)<0,f(b)>0,f(c)<0.$$(2)$$g(x)=x^3-s_1{x}^2+s_{2}x-s_3$$とおく。ただし $$s_1=a+b+c,s_2=ab+bc+ca,s_3=abc$$ である。微分して差を取ると$$f(x)=x^3+(-s_1-3)x^2+(s_2+2s_1)x-(s_3+s_2)\mathrm{.}$$一方、$$(x+1)(x^2-4x+2)=x^3-3x^2-2x+2.$$係数比較により$$s_1=0,s_2=-2,s_3=0.$$したがって$$g(x)=x^3-2x=x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\mathrm{.}$$$a<b<c$ で、中央の根 $b$ は整数だから$$a=-\sqrt{2},b=0,c=\sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)$$f(x)-g(x)=-g^{\mathrm{\prime }}(x)=2-3x^2\mathrm{.}$$2曲線の交点の $x$ 座標は$$2-3x^2=0,x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$この区間では $f(x)\geqq g(x)$ である。

よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{2\mathrm{/}3}}^{\sqrt{2\mathrm{/}3}}(2-3x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{2\mathrm{/}3}}(2-3x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{8\sqrt{6}}{9}\mathrm{.}}\end{array}$$

$g(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$ と置き、恒等式 $g-g^{\mathrm{\prime }}=f$ を一次方程式として解く。面積は2曲線の差が偶関数になることを利用して半区間だけ積分する。

(1)

三次関数 $g$ は、単根 $a,b,c$ を左から順に横切る。したがって各根での傾きの符号は$$g^{\mathrm{\prime }}(a)>0,g^{\mathrm{\prime }}(b)<0,g^{\mathrm{\prime }}(c)>0.$$根では $f=-g^{\mathrm{\prime }}$ だから、求める3つの不等式が従う。

(2) $$g(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$$と置くと、$$g(x)-g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+(p-3)x^2+(q-2p)x+(r-q)\mathrm{.}$$これを $x^3-3x^2-2x+2$ と比較して$$p=0,q=-2,r=0.$$よって $g(x)=x^3-2x$ であり、根の大小順から$$(a,b,c)=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})\mathrm{.}$$(3)

差は$$f(x)-g(x)=2-3x^2$$という偶関数である。正の交点を $$\alpha =\sqrt{2\mathrm{/}3}$$ とすると、対称性から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\alpha }(2-3x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2[2x-x^3{]}_0^{\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $3{\alpha }^2=2$ なので ${\alpha }^3=2\alpha \mathrm{/}3$。したがって$$S=2(2\alpha -\frac{2\alpha }{3})=\frac{8}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{8\sqrt{6}}{9}\mathrm{.}$$