熊本大学 2022年度 前期理系数学 第1問

(問1)
重心の座標は$$G_1=(\frac{a}{3},\frac{1}{3},1),G_2=(\frac{a+1}{3},\frac{1}{3},1)$$である。したがって$$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,0,0),\overrightarrow{G_1{G}_2}=(\frac{1}{3},0,0)$$であるから，2直線は平行である。

(問2)
$P_1{P}_2=1$，$G_1{G}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。2本の平行な直線はいずれも $x$ 軸方向であり，その間の距離は，$P_1$ から $G_1$ への変化のうち $y,z$ 成分だけを見ればよいので$$\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}$$である。したがって四角形 $P_1{P}_2{G}_2{G}_1$ の面積は$$\frac{1+\frac{1}{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{9}$$である。

(問3)
底面 $P_1{P}_2{G}_2{G}_1$ は平面$$z=3y$$上にある。点 $Q=(0,1,0)$ からこの平面までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }0-3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+9}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$である。したがって四角錐の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{10}}{9}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2}{9}$$である。

台形を2つの三角形に分け、外積で面積を求める。
四角錐も同じ対角線で2つの四面体に分け、スカラー三重積から体積を直接出す。

(問1)$$G_1=(\frac{a}{3},\frac{1}{3},1),G_2=(\frac{a+1}{3},\frac{1}{3},1)\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}(1,0,0)=\frac{1}{3}\overrightarrow{P_1{P}_2},$$よって2直線は平行である。

(問2)$$\vec{u}=\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,0,0)$$,$$\vec{v}=\overrightarrow{P_1{G}_1}=(-2a\mathrm{/}3,1\mathrm{/}3,1)$$ とおくと$$\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\vec{u}\times \vec{v}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{10}}{6}\mathrm{.}$$また、$G_1{G}_2=P_1{P}_2\mathrm{/}3$ だから、もう一方の三角形の面積は
$\sqrt{10}\mathrm{/}18$ である。よって台形の面積は$$\frac{\sqrt{10}}{6}+\frac{\sqrt{10}}{18}=\frac{2\sqrt{10}}{9}\mathrm{.}$$(問3)
対角線 $P_2{G}_1$ で四角錐を2つの四面体に分ける。
第1の四面体について$$\mid \det (\overrightarrow{P_1{P}_2},\overrightarrow{P_1{G}_1},\overrightarrow{P_{1}Q})\mid =1,$$第2の四面体について$$\mid \det (\overrightarrow{P_2{G}_2},\overrightarrow{P_2{G}_1},\overrightarrow{P_{2}Q})\mid =\frac{1}{3}\mathrm{.}$$したがって体積は$$\frac{1}{6}(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{9}\mathrm{.}$$