熊本大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とし,座標空間の点 $P_{1}$ $(a, 0, 0),$ $P_{2}$ $(a + 1, 0, 0),$ $Q$ $(0, 1, 0),$ $R$ $(0, 0, 3)$ を考える． $G_{1},$ $G_{2}$ をそれぞれ $△ P_{1} QR,$ $△ P_{2} QR$ の重心とする．以下の問いに答えよ．(問1)　 $P_{1},$ $P_{2}$ を通る直線と, $G_{1},$ $G_{2}$ を通る直線は平行であることを示せ．(問2)　四角形 $P_{1} P_{2} G_{2} G_{1}$ の面積を求めよ．(問3)　四角形 $P_{1} P_{2} G_{2} G_{1}$ を底面とする四角錐 $Q - P_{1} P_{2} G_{2} G_{1}$ の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第1問

方針

解法1（台形の高さと平面距離を使う方法）

重心の座標を求めると， $G_{1} G_{2}$ は $P_{1} P_{2}$ と同じ方向になる。底面四角形は平行な2辺をもつ台形として面積を求め，平面 $z = 3 y$ から点 $Q$ までの距離を高さとして四角錐の体積を求める。

解法2（外積とスカラー三重積で面積・体積を求める方法）

台形を2つの三角形に分け、外積で面積を求める。四角錐も同じ対角線で2つの四面体に分け、スカラー三重積から体積を直接出す。

解答

解法1（台形の高さと平面距離を使う方法）

(問1)

重心の座標は

G_{1} = (\frac{a}{3}, \frac{1}{3}, 1), G_{2} = (\frac{a + 1}{3}, \frac{1}{3}, 1)

である。したがって

P_{1} P_{2} = (1, 0, 0), G_{1} G_{2} = (\frac{1}{3}, 0, 0)

であるから，2直線は平行である。

(問2)

$P_{1} P_{2} = 1$ ， $G_{1} G_{2} = \frac{1}{3}$ である。2本の平行な直線はいずれも $x$ 軸方向であり，その間の距離は， $P_{1}$ から $G_{1}$ への変化のうち $y, z$ 成分だけを見ればよいので

(\frac{1}{3})^{2} + 1^{2} = \frac{10}{3}

である。したがって四角形 $P_{1} P_{2} G_{2} G_{1}$ の面積は

\frac{1 + \frac{1}{3}}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{2 10}{9}

である。

(問3)

底面 $P_{1} P_{2} G_{2} G_{1}$ は平面

z = 3 y

上にある。点 $Q = (0, 1, 0)$ からこの平面までの距離は

\frac{∣0 - 3∣}{1 + 9} = \frac{3}{10}

である。したがって四角錐の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{2 10}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{2}{9}

である。

解法2（外積とスカラー三重積で面積・体積を求める方法）

(問1)

G_{1} = (\frac{a}{3}, \frac{1}{3}, 1), G_{2} = (\frac{a + 1}{3}, \frac{1}{3}, 1) .

したがって

G_{1} G_{2} = \frac{1}{3} (1, 0, 0) = \frac{1}{3} P_{1} P_{2},

よって2直線は平行である。

(問2)

$u = P_{1} P_{2} = (1, 0, 0)$ , $v = P_{1} G_{1} = (- 2 a /3, 1/3, 1)$ とおくと

\frac{1}{2} ∣ u \times v ∣ = \frac{10}{6} .

また、 $G_{1} G_{2} = P_{1} P_{2} /3$ だから、もう一方の三角形の面積は $10 /18$ である。よって台形の面積は

\frac{10}{6} + \frac{10}{18} = \frac{2 10}{9} .

(問3)

対角線 $P_{2} G_{1}$ で四角錐を2つの四面体に分ける。第1の四面体について

det (P_{1} P_{2}, P_{1} G_{1}, P_{1} Q) = 1,

第2の四面体について

det (P_{2} G_{2}, P_{2} G_{1}, P_{2} Q) = \frac{1}{3} .

したがって体積は

\frac{1}{6} (1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} .

熊本大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（台形の高さと平面距離を使う方法）

解法2（外積とスカラー三重積で面積・体積を求める方法）

解答

解法1（台形の高さと平面距離を使う方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（外積とスカラー三重積で面積・体積を求める方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第1問