熊本大学 2023年度 前期数学③ 第1問

(問1)
積が $60$ となるには，$5$ がちょうど $1$ 回出て，残り $2$ 回の積が $12$ になればよい。残り $2$ 回は$$(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$$の $4$ 通りであり，$5$ の位置は $3$ 通りである。したがって$$p_3=\frac{12}{6^3}=\frac{1}{18}$$である。

(問2)
$n\geqq 4$ とする。$5$ の出る位置を $n$ 通りに選び，残り $n-1$ 回の積が $12$ となる出方を数える。長さ $m$ の出方で積が $12$ となるものは$$4{}_m{\mathrm{C}}_2+3{}_m{\mathrm{C}}_3=\frac{m(m-1)(m+2)}{2}$$通りである。ここで $m=n-1$ とすれば，積が $60$ となる出方は$$n\cdot \frac{(n-1)(n-2)(n+1)}{2}$$通りである。よって$$p_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{2\cdot 6^n}$$である。

(問3)
(問2)の出方の数を$$B_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{2}$$とおく。$n$ 回目にはじめて積が $60$ となる出方は，積が $60$ となる長さ $n$ の出方から，$n-1$ 回目までに積が $60$ で最後に $1$ が出るものを除いたものである。よってその数は$$B_n-B_{n-1}=2n(n-1)(n-2)$$である。したがって求める確率は$$\frac{2n(n-1)(n-2)}{6^n}$$である。

$2,3,5$ の指数をそれぞれ $X,Y,Z$ で記録し、$(1+X+Y+X^2+Z+XY{)}^n$ の $X^{2}YZ$ 係数を求める。初到達確率は最後の目を $2,3,4,5,6$ に分け、直前までの積を母関数と同じ考えで数える。

(問1)(問2)
各出目 $1,2,3,4,5,6$ を$$1,X,Y,X^2,Z,XY$$に対応させる。積が $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ となる出方の数は$$[X^{2}YZ](1+X+Y+X^2+Z+XY{)}^n$$である。$Z$ はちょうど1回選ばれ、その位置は $n$ 通りである。残り $n-1$ 箇所から $X^{2}Y$ を作る係数は$$\frac{(n-1)(n-2)(n+1)}{2}$$だから$$p_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{2\cdot 6^n}\mathrm{.}$$特に $p_3=12\mathrm{/}{6}^3=1\mathrm{/}18$ である。

(問3)
$m=n-1$ とおく。最後の目が $2,3,4,5,6$ のとき、最初の $m$ 回の積はそれぞれ $30,20,15,12,10$ である。その出方の数は順に$$m(m-1{)}^2,\frac{m^2(m-1)}{2},m(m-1),\frac{m(m-1)(m+2)}{2},m(m-1)$$である。合計は$$2m(m-1)(m+1)=2n(n-1)(n-2)$$となる。したがって求める確率は$$\frac{2n(n-1)(n-2)}{6^n}$$である。