熊本大学 2024年度 前期数学① 第2問

(問1)
$1$から$6$までの目は、$3$で割った余り$0,1,2$がそれぞれ$2$個ずつある。$a+b$が$3$の倍数となる組は$12$通りであるから、求める確率は$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$である。

(問2)
偶数の平方は$4$の倍数、奇数の平方は$4$で割ると$1$余る。したがって$a^2+b^2$が$4$の倍数となるのは、$a,b$がともに偶数のときだけである。よって確率は$$\frac{3\cdot 3}{36}=\frac{1}{4}$$である。

(問3)$$a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2)$$である。$4$で割り切れるためには、$a,b$の偶奇が同じであることが必要十分である。また$3$で割り切れるためには、$a+b$が$3$の倍数であるか、$a,b$がともに$3$の倍数であればよい。

奇数同士では条件を満たす組は$$(1,5),(3,3),(5,1)$$の$3$通りである。偶数同士では$$(2,4),(4,2),(6,6)$$の$3$通りである。したがって有利な組は$6$通りで、求める確率は$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$である。

各目を$3$での剰余と偶奇の組として分類する。(問3)は式を因数分解したうえで、6×6の全組を条件に照らして残し、理論的分類と完全列挙の両方で数え漏れを防ぐ。

(問1)
$1,2,\dots ,6$には$3$で割った余り$0,1,2$が各2個ある。和が0となる剰余の組は$$(0,0),(1,2),(2,1)$$なので、有利な組は$3\cdot 2\cdot 2=12$通りである。よって確率は$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(問2)
平方を4で割った余りは、元の数が偶数なら0、奇数なら1である。和が0となるのは両方が偶数の場合だけなので$$\frac{3\cdot 3}{36}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(問3)$$a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2)\mathrm{.}$$全36組を偶奇と$3$での剰余により検査すると、条件を満たす組は$$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)$$の6組である。確認の理由は次の通りである。$4$で割り切れるには$a,b$が同じ偶奇であることが必要十分である。また$3$で割り切れるには$a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$、または$a\equiv b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$であればよい。この2条件を同時に満たす組が上の6組である。したがって確率は$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$