熊本大学 2024年度 前期数学③ 第1問

(問1)
袋$A_k$が選ばれたとき、白玉が出る確率は$k\mathrm{/}n$である。$s=2$で白玉がちょうど$1$回出る条件付き確率は$$2\cdot \frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})$$である。袋は等確率に選ばれるので、求める確率は$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}2\cdot \frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})=\frac{2}{n^3}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)=\frac{n^2-1}{3n^2}$$である。

(問2)
$n=3k$であるから、袋$A_k$から白玉が出る確率は$1\mathrm{/}3$である。したがって$$p(t)={}_{100}{\mathrm{C}}_t{\left(\frac{1}{3}\right)}^t{\left(\frac{2}{3}\right)}^{100-t}$$である。隣り合う項の比は$$\frac{p(t+1)}{p(t)}=\frac{100-t}{t+1}\cdot \frac{1}{2}$$である。これは$t\leqq 32$で$1$より大きく、$t\geqq 33$で$1$より小さい。よって$p(t)$を最大にする$t$は$$33$$である。

(問3)
$s=10$で白玉がちょうど$3$回出る確率は$$q_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{}_{10}{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{k}{n}\right)}^3{(1-\frac{k}{n})}^7$$である。これはリーマン和であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n=120{\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{7}dx$$である。ここで$$(1-x{)}^7=1-7x+21x^2-35x^3+35x^4-21x^5+7x^6-x^7$$を用いて計算すると$${\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{7}dx=\frac{1}{1320}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n=\frac{120}{1320}=\frac{1}{11}$$である。

袋番号を一様な確率変数$K$とみなし、白玉確率$K\mathrm{/}n$について平均する。(問2)は二項確率の前後比を両側から比較し、(問3)は$(1-k\mathrm{/}n{)}^7$を展開して各べき和の極限を用いる。

(問1)
$K$を選ばれた袋番号とすると$K$は$1,\dots ,n$上で一様である。$K=k$のもとで白玉がちょうど1回出る確率は$2(k\mathrm{/}n)(1-k\mathrm{/}n)$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}2\frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{n^3}(n\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^n{k}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n^2-1}{3n^2}\mathrm{.}}\end{array}$$(問2)
$n=3k$なら1回の白玉確率は$1\mathrm{/}3$なので$$p(t)={}_{100}{\mathrm{C}}_t{\left(\frac{1}{3}\right)}^t{\left(\frac{2}{3}\right)}^{100-t}\mathrm{.}$$最大の項では$p(t)\geqq p(t-1)$かつ$p(t)\geqq p(t+1)$である。隣接比から$$\frac{p(t)}{p(t-1)}=\frac{101-t}{2t},\frac{p(t+1)}{p(t)}=\frac{100-t}{2(t+1)}\mathrm{.}$$両条件を満たす整数は$t=33$だけである。よって最大にする値は$$t=33.$$(問3)$$q_n=\frac{120}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^3{(1-\frac{k}{n})}^7\mathrm{.}$$二項展開し、各$j\geqq 0$について$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^j=\frac{1}{j+1}$$を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_n}& {\displaystyle =120\sum _{j=0}^7(-1{)}^j{}_7{\mathrm{C}}_j\frac{1}{j+4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =120{\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{7}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =120\cdot \frac{1}{1320}=\frac{1}{11}\mathrm{.}}\end{array}$$展開によるべき和計算と積分値が同じ有限和を与える。