熊本大学 2022年度理系数学第2問解答・解説

問題

関数 $f (x) = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2}$ について,以下の問いに答えよ．(問1)　 $f (x)$ $（ 0 ≦ x ≦ 1 ）$ の最大値を求めよ．(問2)　 $0 ≦ x ≦ 1$ において, $f (x) ≧ 2 x$ となることを示せ．(問3)　数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = \int_{0}^{1} {f (x)}^{n} d x$ $（ n = 1, 2, 3, \dots ）$ で定める． $lim_{n \to \infty} n a_{n}$ の値を求めよ．ただし, $lim_{n \to \infty} \frac{l o g ( n + 1 )}{n} = 0$ を用いてよい．

出典：熊本大学 2022年度前期理系第2問

方針

解法1（積分を等比的な上下評価ではさむ方法）

最大値は $sin^{2} (π x /2) ≦ 1$ から直ちに出す。下からの評価で $f (x) ≧ 2 x$ を示し， $a_{n}$ を上下からはさんで $n$ 乗根の極限を求める。

解法2（連続性で最大値近くの区間を確保する方法）

設問(2)は正弦関数とその弦の比較で示す。設問(3)では $x = 1$ 近傍の固定幅の区間だけを積分し、最大値へ近づく下側評価を作る。

解答

解法1（積分を等比的な上下評価ではさむ方法）

(問1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では

0 ≦ sin^{2} \frac{π x}{2} ≦ 1

であるから

f (x) = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2} ≦ 2

である。等号は $x = 1$ で成り立つので，最大値は $2$ である。

(問2)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $sin \frac{π x}{2} ≧ x$ である。したがって

f (x)^{2} = 1 + sin^{2} \frac{π x}{2} ≧ 1 + x^{2} ≧ 2 x^{2}

である。両辺は $0$ 以上なので

f (x) ≧ 2 x

である。

(問3)

(問1)，(問2)より

(2 x)^{n} ≦ {f (x)}^{n} ≦ (2)^{n}

である。これを $0 ≦ x ≦ 1$ で積分すると

\frac{( 2 ) ^{n}}{n + 1} ≦ a_{n} ≦ (2)^{n}

である。よって

2 n \frac{1}{n + 1} ≦ n a_{n} ≦ 2

である。与えられた極限から $n 1/ (n + 1) \to 1$ であるので

n \to \infty lim n a_{n} = 2

である。

解法2（連続性で最大値近くの区間を確保する方法）

(問1)

$0 ≦ x ≦ 1$ で $0 ≦ sin (π x /2) ≦ 1$ だから

f (x) ≦ 2 .

等号は $x = 1$ で成り立つので、最大値は $2$ である。

(問2)

$sin t$ は $0 ≦ t ≦ π /2$ で上に凸である。したがってグラフは両端を結ぶ弦の上側にあり

sin \frac{π x}{2} ≧ x (0 ≦ x ≦ 1) .

ゆえに

f (x)^{2} ≧ 1 + x^{2} ≧ 2 x^{2} ⟹ f (x) ≧ 2 x .

(問3)

$0 < ε < 2$ を固定する。連続性により、ある $δ > 0$ が存在して $1 - δ ≦ x ≦ 1$ なら $f (x) ≧ 2 - ε$ となる。一方、問1から常に $f (x) ≦ 2$ である。よって

δ (2 - ε)^{n} ≦ a_{n} ≦ (2)^{n} .

$n$ 乗根をとり $n \to \infty$ とすれば

2 - ε ≦ lim n a_{n} ≦ 2 .

$ε$ を0へ近づけて

n \to \infty lim n a_{n} = 2 .

熊本大学 2022年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（積分を等比的な上下評価ではさむ方法）

解法2（連続性で最大値近くの区間を確保する方法）

解答

解法1（積分を等比的な上下評価ではさむ方法）

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（連続性で最大値近くの区間を確保する方法）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2022年度
理系数学第2問