熊本大学 2026年度 前期数学① 第1問

(問1)
右への移動を $R$，下への移動を $D$ と書く。可能な経路と確率，面積 $S$ は次の通りである。$$\begin{array}{ccc}\text{経路}& \text{確率}& S\\ RRDD& {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}& 4\\ RDRD& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{27}& 3\\ RDDR& \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}& 2\\ DRRD& \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{27}& 2\\ DRDR& \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}& 1\\ DDRR& {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}& 0\end{array}$$したがって $S=0$ となるのは経路 $DDRR$ のときだけであるから，求める確率は$$\frac{1}{9}$$である。

(問2)
$S=2$ となるのは経路 $RDDR$ と $DRRD$ のときである。よって求める確率は$$\frac{2}{27}+\frac{4}{27}=\frac{2}{9}$$である。

(問3)
上の表より，期待値は$$4\cdot \frac{4}{9}+3\cdot \frac{4}{27}+2(\frac{2}{27}+\frac{4}{27})+1\cdot \frac{2}{27}=\frac{74}{27}$$である。

なお，表の確率の和は$$\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\frac{2}{27}+\frac{4}{27}+\frac{2}{27}+\frac{1}{9}=1$$となり，全経路を尽くしていることも確認できる。

状態 $x,y$ から終点までに加わる面積の確率母関数を $F_{x,y}(t)$ とする。高さ $y$ で右へ1進むと面積が $y$ 増えるので，遷移式を下から計算すれば，経路を個別に並べずに面積の分布全体が得られる。

高さ $y$ で右へ移る1歩が面積に $y$ を加えることに注意する。状態 $(x,y)$ から終点までに加わる面積を $T$ とし，$$F_{x,y}(t)=\sum _s\mathrm{Pr}(T=s)t^s$$とおく。境界では$$F_{2,y}(t)=F_{2,y-1}(t),F_{x,0}(t)=F_{x+1,0}(t)$$であり，内部では$$F_{x,y}(t)=\frac{2}{3}{t}^y{F}_{x+1,y}(t)+\frac{1}{3}{F}_{x,y-1}(t)$$である。終点で $F_{2,0}=1$ として順に計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_{1,1}(t)}& {\displaystyle =\frac{2}{3}t+\frac{1}{3},}\\ {\displaystyle F_{1,2}(t)}& {\displaystyle =\frac{2}{3}{t}^2+\frac{2}{9}t+\frac{1}{9},}\\ {\displaystyle F_{0,1}(t)}& {\displaystyle =\frac{4}{9}{t}^2+\frac{2}{9}t+\frac{1}{3},}\end{array}$$したがって$$F_{0,2}(t)=\frac{4}{9}{t}^4+\frac{4}{27}{t}^3+\frac{2}{9}{t}^2+\frac{2}{27}t+\frac{1}{9}\mathrm{.}$$よって係数を読めば$$(\text{問}1)\mathrm{Pr}(S=0)=\frac{1}{9},(\text{問}2)\mathrm{Pr}(S=2)=\frac{2}{9}\mathrm{.}$$また微分して $t=1$ を代入すれば$$(\text{問}3)E[S]=F_{0,2}^{\mathrm{\prime }}(1)=4\cdot \frac{4}{9}+3\cdot \frac{4}{27}+2\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{27}=\frac{74}{27}$$を得る。