熊本大学 2024年度 前期数学① 第1問

(問1)$$1+{\tan }^2{a}_n=\frac{1}{{\cos }^2{a}_n}$$であり、$\tan a_n=n$だから$${\cos }^2{a}_n=\frac{1}{n^2+1}$$である。

(問2)
正接の加法定理より$$\tan (a_{n+1}-a_n)=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_{n+1}\tan a_n}=\frac{1}{n^2+n+1}$$である。

(問3)
(問1)、(問2)より$$\frac{\tan (a_{n+1}-a_n)}{{\cos }^2{a}_n}=\frac{n^2+1}{n^2+n+1}$$である。したがって$$\frac{n^2+1}{n^2+n+1}>\frac{9}{10}$$は$$n^2-9n+1>0$$と同値である。この二次式の正の大きい方の解は$(9+\sqrt{77})\mathrm{/}2$で、これは$8$と$9$の間にある。よって条件を満たす$n$の最小値は$$9$$である。

$a_n$を直角三角形の鋭角とみて$\sin a_n,\cos a_n$を直接表す。差角の正接を求めた後、得られる数列が単調増加であることを示し、$n=8,9$だけを比較して最小値を確定する。

(問1)
$0<a_n<\pi \mathrm{/}2$かつ$\tan a_n=n$なので、直角三角形の辺を$1,n,\sqrt{n^2+1}$とみれば$$\cos a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}},{\cos }^2{a}_n=\frac{1}{n^2+1}\mathrm{.}$$(問2)
差角公式から$$\tan (a_{n+1}-a_n)=\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}=\frac{1}{n^2+n+1}\mathrm{.}$$(問3)
左辺を$R_n$とすると$$R_n=\frac{n^2+1}{n^2+n+1}\mathrm{.}$$直接差をとれば$$R_{n+1}-R_n=\frac{n^2+n-1}{(n^2+n+1)(n^2+3n+3)}>0$$であり、$R_n$は自然数$n$について単調増加する。一方$$R_8=\frac{65}{73}<\frac{9}{10},R_9=\frac{82}{91}>\frac{9}{10}\mathrm{.}$$したがって条件を満たす最小の自然数は$$n=9$$である。