熊本大学 2023年度 前期数学① 第2問／数学② 第2問

(問1)
$2$ 回で積が $12$ となるのは$$(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$$の $4$ 通りである。したがって$$p_2=\frac{4}{6^2}=\frac{1}{9}$$である。

$3$ 回で積が $12$ となる場合を，$1$ 以外の目で分類する。$1,2,6$ の並べ方が $6$ 通り，$1,3,4$ の並べ方が $6$ 通り，$2,2,3$ の並べ方が $3$ 通りである。よって$$p_3=\frac{15}{6^3}=\frac{5}{72}$$である。

(問2)
$n\geqq 4$ とする。$1$ 以外の目が $2$ 個のときは，その位置の選び方が ${}_n{\mathrm{C}}_2$ 通りで，各位置への入れ方は $(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$ の $4$ 通りである。

$1$ 以外の目が $3$ 個のときは，目は $2,2,3$ であり，位置の選び方が ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 通り，並べ方が $3$ 通りである。したがって積が $12$ となる出方は$$4{}_n{\mathrm{C}}_2+3{}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n+2)}{2}$$通りである。よって$$p_n=\frac{n(n-1)(n+2)}{2\cdot 6^n}$$である。

(問3)
長さ $n$ の出方で積が $12$ となるもののうち，$n-1$ 回目までにすでに積が $12$ で，$n$ 回目に $1$ が出たものを除けばよい。(問2)の数え上げを $$A_n={\displaystyle \frac{n(n-1)(n+2)}{2}}$$ とおくと，求める出方の数は$$A_n-A_{n-1}=\frac{(n-1)(3n+2)}{2}$$である。したがって求める確率は$$\frac{(n-1)(3n+2)}{2\cdot 6^n}$$である。

出目の $2$ の指数を $X$、$3$ の指数を $Y$ で記録する。$(1+X+Y+X^2+XY{)}^n$ の $X^{2}Y$ の係数を求めると、積が $12$ となる順序付きの出方を一括して数えられる。初到達は最後の目ごとに直前の積を数える。

(問1)(問2)
出目 $1,2,3,4,6$ をそれぞれ $1,X,Y,X^2,XY$ に対応させる。出目 $5$ は積が $12$ となる場合には現れない。したがって積が $12=2^2\cdot 3$ となる出方の数は$$[X^{2}Y](1+X+Y+X^2+XY{)}^n$$である。$X^{2}Y$ を作る選び方は$$(X^2,Y),(XY,X),(X,X,Y)$$の3種類なので、その係数は$$n(n-1)+n(n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)}{2}=\frac{n(n-1)(n+2)}{2}\mathrm{.}$$よって$$p_n=\frac{n(n-1)(n+2)}{2\cdot 6^n}\mathrm{.}$$特に$$p_2=\frac{1}{9},p_3=\frac{5}{72}$$である。

(問3)
$n$ 回目に初めて積が $12$ となるとき、最後の目は $2,3,4,6$ のいずれかである。最初の $n-1$ 回の積が順に $6,4,3,2$ となる出方の数は$$(n-1{)}^2,\frac{n(n-1)}{2},n-1,n-1$$である。したがって求める出方の数は$$(n-1{)}^2+\frac{n(n-1)}{2}+2(n-1)=\frac{(n-1)(3n+2)}{2}\mathrm{.}$$ゆえに求める確率は$$\frac{(n-1)(3n+2)}{2\cdot 6^n}$$である。