熊本大学 2026年度 前期数学③ 第3問

図は位置関係を示す模式図であり，$M$ は $AB$ の中点である。対称性から $O,P,D,M$ は同一直線上にある。

(問1)
$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1$ であり，$AB=x$ だから$$x^2=\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$より$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1-\frac{x^2}{2}$$である。また $$\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }BOC=\frac{\pi }{3}$$ より$$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{3}{2}$$である。

点 $D$ は平面 $OAB$ 上にあり，$\vec{a},\vec{b}$ に対して対称であるから$$\overrightarrow{OD}=t(\vec{a}+\vec{b})$$とおける。$CD$ は平面 $OAB$ に垂直なので$$(\vec{c}-t(\vec{a}+\vec{b}))\cdot \vec{a}=0$$である。したがって$$\frac{3}{2}-t(1+\vec{a}\cdot \vec{b})=0$$であり，$$1+\vec{a}\cdot \vec{b}=2-\frac{x^2}{2}=\frac{4-x^2}{2}$$より$$t=\frac{3}{4-x^2}$$である。ゆえに$$\overrightarrow{OD}=\frac{3}{4-x^2}(\vec{a}+\vec{b})$$である。

(問2)$$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=4-x^2$$であるから，(問1)より$$O{D}^2=\frac{9}{4-x^2}$$である。$OC=3$ かつ $CD\perp \text{平面 }OAB$ であるから$$C{D}^2=O{C}^2-O{D}^2=9-\frac{9}{4-x^2}=\frac{9(3-x^2)}{4-x^2}$$である。

一方，$\mathrm{△}OAB$ は $OA=OB=1,AB=x$ の二等辺三角形なので，その面積は$$\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}$$である。したがって四面体 $OABC$ の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3-x^2}}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{x\sqrt{3-x^2}}{4}$$である。

(問3)
$\mathrm{△}OAB$ の外接円の中心 $P$ も対称性から$$\overrightarrow{OP}=s(\vec{a}+\vec{b})$$とおける。$OP=AP$ より$$\mathrm{\mid }s(\vec{a}+\vec{b}){\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }s(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$であるから$$s(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$となる。したがって$$s\cdot \frac{4-x^2}{2}=\frac{1}{2}$$より$$s=\frac{1}{4-x^2}$$である。

(問1)より $$\overrightarrow{OD}=\frac{3}{4-x^2}(\vec{a}+\vec{b})$$ であるから$$DP=\mid \frac{2}{4-x^2}(\vec{a}+\vec{b})\mid =\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$$である。これが $\frac{5}{3}$ に等しいので$$\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{5}{3}$$である。よって$$\sqrt{4-x^2}=\frac{6}{5},x^2=\frac{64}{25}$$となる。$0<x<\sqrt{3}$ より$$x=\frac{8}{5}$$である。

$M$ を $AB$ の中点とする。二等辺三角形 $OAB$ の対称軸上に $P,D$ があることを使い，$OM,OP,OD$ を長さだけで求める。

(問3)
$M$ を $AB$ の中点とする。$OA=OB=1,AB=x$ より$$OM=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\mathrm{.}$$外心 $P$ は直線 $OM$ 上にあり，$OP=AP$ である。直角三角形 $AMP$ に $AM=x\mathrm{/}2$，$MP=OM-OP$ を代入すると$$O{P}^2=\frac{x^2}{4}+(OM-OP{)}^2$$であるから$$OP=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{.}$$また $D$ も直線 $OM$ 上にある。$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=3\mathrm{/}2$$ と，$\overrightarrow{OM}$ が $\vec{a}+\vec{b}$ の方向であることから$$OD=\frac{3}{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{.}$$したがって$$DP=OD-OP=\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{.}$$これが $5\mathrm{/}3$ なので$$4-x^2=\frac{36}{25},x^2=\frac{64}{25}\mathrm{.}$$$x>0$ より $x=8\mathrm{/}5$ である。