熊本大学 2026年度 前期数学③ 第4問

(問1)$$y=\frac{\log x}{x}$$とおくと$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1-\log x}{x^2}$$である。したがって $0<x<e$ で $y^{\mathrm{\prime }}>0$，$x>e$ で $y^{\mathrm{\prime }}<0$ である。よって $x=e$ で極大となり，その極大値は$$\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$$である。極小値はない。

(問2)$$h(x)=\frac{\log x}{x}$$とおく。(問1)より，$h(x)$ は $x>e$ で減少する。

条件$$a^{nb}>b^{na}>n^{ab}$$の各辺の自然対数をとり，正の数 $abn$ で割ると$$\frac{\log a}{a}>\frac{\log b}{b}>\frac{\log n}{n}$$すなわち$$h(a)>h(b)>h(n)$$である。$a=1$ では $h(a)=0<h(n)$ となるから不適である。

$2.7<e<2.8<3$ であるから，$3\leqq a<b<n$ なら $h(a)>h(b)>h(n)$ が成り立つ。したがって，この場合の個数は$$\frac{(n-3)(n-4)}{2}$$である。

次に $a=2$ の場合を考える。$h(3)>h(2)$ は $\log 9>\log 8$ から成り立ち，$h(4)=h(2)$ であるから，$b=3,4$ は不適である。一方，$b\geqq 5$ なら $h(b)\leqq h(5)<h(2)$ である。実際，$h(5)<h(2)$ は $\log 25<\log 32$ から従う。よって $a=2$ で可能なのは $5\leqq b<n$ のときであり，その個数は $n-5$ 個である。ただし $n=5$ のときは $0$ 個である。

以上より，$n=3,4$ では条件を満たす組はなく，$s_n=0$ である。$n\geqq 5$ では$$s_n=\frac{(n-3)(n-4)}{2}+(n-5)=\frac{n^2-5n+2}{2}$$である。

(問3)
$k\geqq 5$ では (問2) より$$s_k+\frac{5}{2}k-1=\frac{k^2-5k+2}{2}+\frac{5}{2}k-1=\frac{k^2}{2}$$である。したがって$$\frac{1}{n^5}\sum _{k=5}^n{k}^2(s_k+\frac{5}{2}k-1)=\frac{1}{2n^5}\sum _{k=5}^n{k}^4$$である。区分求積法より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^5}\sum _{k=1}^n{k}^4={\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{1}{5}$$であり，$k=1$ から $4$ までを除いても極限は変わらない。よって求める極限は$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{10}$$である。

(問2)の式を代入した後，区分求積ではなく4乗和の公式を使い，最高次項だけを読んで極限を求める。

(問3)
$k\geqq 5$ では $$s_k+\frac{5}{2}k-1=\frac{k^2}{2}$$ である。したがって，4乗和の公式を用いると$$\frac{1}{2n^5}\sum _{k=5}^n{k}^4=\frac{1}{2n^5}\{\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}-354\}⟶\frac{1}{10}\mathrm{.}$$