熊本大学 2024年度 前期数学② 第1問

(問1)
$y=e^x$の$x=a$における傾きは$e^a$である。したがって接線は$$y-e^a=e^a(x-a)$$すなわち$$y=e^{a}x+e^a(1-a)$$である。

(問2)
$p=e^a$であるから$a=\log p$であり、$p>0$である。$y$切片は$$q=e^a(1-a)=p(1-\log p)$$である。

(問3)$$f(x)=x(1-\log x)$$であるから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\log x$$である。$f(1)=1,f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$より$$l_1:y=1$$である。また$f(e)=0,f^{\mathrm{\prime }}(e)=-1$より$$l_2:y=-x+e$$である。

(問4)
二直線$l_1,l_2$の交点は$x=e-1$である。$f(x)$は上に凸であり、接線は曲線の上側にあるから、求める面積は$${\int }_1^{e-1}\{1-f(x)\}dx+{\int }_{e-1}^e\{-x+e-f(x)\}dx$$である。$f(x)=x-x\log x$を用いて計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_1^{e-1}(1-x+x\log x)dx+{\int }_{e-1}^e(e-2x+x\log x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e-\frac{e^2+3}{4}}\end{array}$$である。

接線の係数を直接$p$で表し、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$から接線が曲線の上側にあることを確認する。面積は2本の接線のうち低い方と$f$との差として区間を分け、共通の原始関数で端点計算する。

(問1)
接点を$(a,e^a)$とすると、微分係数は$e^a$である。点傾きの式から$$y=e^a(x-a)+e^a=e^{a}x+e^a(1-a)\mathrm{.}$$(問2)
$p=e^a>0$より$a=\log p$である。したがって$$q=e^a(1-a)=p(1-\log p)\mathrm{.}$$よって$f(p)=p(1-\log p)$である。

(問3)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\log x$なので、$x=1,e$における接線はそれぞれ$${\mathrm{\ell }}_1:y=1,{\mathrm{\ell }}_2:y=-x+e\mathrm{.}$$(問4)
$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1\mathrm{/}x<0$であるから、各接線は曲線の上側にある。また${\mathrm{\ell }}_1$と${\mathrm{\ell }}_2$は$x=e-1$で交わる。囲まれた領域の上端は、$1\leqq x\leqq e-1$では${\mathrm{\ell }}_1$、$e-1\leqq x\leqq e$では${\mathrm{\ell }}_2$である。

ここで$$\int x\log xdx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}$$を用いると、面積$S$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^{e-1}(1-x+x\log x)dx+{\int }_{e-1}^e(e-2x+x\log x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e-\frac{e^2+3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$$e^2-4e+3=(e-1)(e-3)<0$よりこの値は正であり、領域の取り方とも整合する。