京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1)

点 $A,B,C,D$ の位置ベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ とし$$\mathbf{p}={\displaystyle \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4}}$$と置く。この位置ベクトルをもつ点を $P$ とする。三角形 $BCD$ の重心 $A_1$ の位置ベクトルは$${\mathbf{a}}_1={\displaystyle \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathbf{p}-\mathbf{a}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}-3\mathbf{a}}{4}},}\\ {\displaystyle {\mathbf{a}}_1-\mathbf{p}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}-3\mathbf{a}}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\mathbf{p}-\mathbf{a})\mathrm{.}}\end{array}$$よって $A,P,A_1$ は一直線上にあり、$P$ は線分 $A{A}_1$ 上にある。同じ計算により $P$ は $B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$ 上にもある。したがって4本の線分は1点 $P$ を共有する。

(2)

上の関係から$$AP:P{A}_1=3:1$$である。他の3本についても同じなので、$P$ はどの線分も元の頂点側から$$3:1$$に内分する。

四つの頂点に同じ重み1を置く。$B,C,D$ の三つをその重心 $A_1$ にまとめると、$A_1$ の重みは3になる。全体の重心は $A$ と $A_1$ を重み1対3で釣り合わせる点なので、$A{A}_1$ を3:1に内分する。同じ全体重心が4本すべてに現れる。

(1)

四点 $A,B,C,D$ にそれぞれ等しい重み1があると考える。その全体の重心を $P$ とする。

まず $B,C,D$ の三つをまとめると、その重心は $A_1$ であり、まとめた重みは3である。したがって全体の重心 $P$ は、重み1の点 $A$ と重み3の点 $A_1$ を結ぶ線分上にある。
同様に残りの三点のまとめ方を変えると、同じ全体重心 $P$ が $B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$ 上にもある。よって4本の線分は $P$ を共有する。

(2)

$A$ と $A_1$ の重みは1と3なので、釣り合いの関係から$$1\cdot AP=3\cdot P{A}_1,$$すなわち$$AP:P{A}_1=3:1.$$同様に、$A,C,D$ を重心 $B_1$ にまとめると$$BP:P{B}_1=3:1.$$$C_1,D_1$ についても同様である。したがって4本は同じ点 $P$ を通り、$P$ は各線分を元の頂点側から $3:1$ に分ける。