京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OB}+w\overrightarrow{OC}=\vec{0}$$ とする。

まず $u+v+w\mathrm{\ne }0$ と仮定する。このとき$$\vec{0}={\displaystyle \frac{u}{u+v+w}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{v}{u+v+w}}\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{w}{u+v+w}}\overrightarrow{OC}$$であり、右辺の係数の和は $1$ である。これは、原点 $O$ が三角形 $ABC$ の決める平面上にあることを意味する。しかしこれは仮定に反する。よって $u+v+w=0$ でなければならない。

そこで $w=-u-v$ とすると、$$u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OB}-(u+v)\overrightarrow{OC}=\vec{0}$$すなわち$$u(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+v(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=\vec{0}$$である。これは $$u\overrightarrow{CA}+v\overrightarrow{CB}=\vec{0}$$ を意味する。

三角形 $ABC$ が作られているので、$\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ は平行ではない。したがって $u=0,v=0$ であり、さらに $w=-u-v=0$ である。よって $u=v=w=0$ が示された。

(2)
内接円の半径を $r$ とする。内心 $P$ から三辺 $BC,CA,AB$ への距離はいずれも $r$ であるから、三角形 $PBC,PCA,PAB$ の面積はそれぞれ ${\displaystyle \frac{1}{2}}ar,{\displaystyle \frac{1}{2}}br,{\displaystyle \frac{1}{2}}cr$ である。したがって面積比は $[PBC]:[PCA]:[PAB]=a:b:c$ である。

三角形の内部の点 $P$ について、面積比による係数表示を用いると$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{[PBC]}{[ABC]}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{[PCA]}{[ABC]}}\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{[PAB]}{[ABC]}}\overrightarrow{OC}$$である。ここで $[ABC]=[PBC]+[PCA]+[PAB]$ だから、上の面積比 $a:b:c$ より$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{a}{a+b+c}}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{b}{a+b+c}}\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{c}{a+b+c}}\overrightarrow{OC}$$となる。

よって$$u={\displaystyle \frac{a}{a+b+c}},v={\displaystyle \frac{b}{a+b+c}},w={\displaystyle \frac{c}{a+b+c}}$$である。

内心から3辺への高さが等しいため、小三角形の面積比は $a:b:c$

(1) は係数和が0か否かで分けて平面条件に帰着する。
(2)では $a:b:c$ を重みとする点を先に作り、その点が
$A,B$ からの内角二等分線上にあることを示して内心と同定する。

(1)
与えられた等式で $u+v+w\mathrm{\ne }0$ なら、係数をその和で割ることで
原点 $O$ が平面 $ABC$ 上の点として表され、仮定に反する。
よって $u+v+w=0$。すると$$u\overrightarrow{CA}+v\overrightarrow{CB}=\vec{0}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ は平行でないから
$u=v=0$、したがって $w=0$ である。

(2)
次の点 $Q$ を考える。$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}}\mathrm{.}$$$BC$ 上で $BD:DC=c:b$ となる点を $D$ とすると$$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{b+c}}\mathrm{.}$$よって $Q$ は直線 $AD$ 上にある。角の二等分線定理から
$AD$ は $\mathrm{\angle }A$ の二等分線である。同様に $Q$ は
$\mathrm{\angle }B$ の二等分線上にもあるから、$Q=P$ である。
したがって$$u={\displaystyle \frac{a}{a+b+c}},v={\displaystyle \frac{b}{a+b+c}},w={\displaystyle \frac{c}{a+b+c}}\mathrm{.}$$