京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

三角形 $OBC$ は $O$ を直角とし、$P$ は斜辺 $BC$ への垂線の足である。直角三角形の射影の関係から$$BP:PC=b^2:c^2\mathrm{.}$$同様に$$CQ:QA=c^2:a^2,AR:RB=a^2:b^2\mathrm{.}$$(1)
三角形 $PQR$ と三角形 $ABC$ は同じ平面上にある。四面体 $OPQR,OABC$ は頂点 $O$ からこの平面までの高さを共有するから、体積比は底面積比に等しい。

三角形 $ABC$ から3つの隅の三角形を除くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{[PQR]}{[ABC]}}=}& {\displaystyle 1-{\displaystyle \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{b^4}{(b^2+c^2)(b^2+a^2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{c^4}{(c^2+a^2)(c^2+b^2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$通分すると$${\displaystyle \frac{[PQR]}{[ABC]}}={\displaystyle \frac{2a^2{b}^2{c}^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\mathrm{.}$$したがって求める体積比も$${\displaystyle \frac{V_{OPQR}}{V_{OABC}}}={\displaystyle \frac{2a^2{b}^2{c}^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\mathrm{.}$$(2)
相加相乗平均より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+b^2}& {\displaystyle \geqq 2ab,}\\ {\displaystyle b^2+c^2}& {\displaystyle \geqq 2bc,}\\ {\displaystyle c^2+a^2}& {\displaystyle \geqq 2ca\mathrm{.}}\end{array}$$3式を掛けると、分母は $8a^2{b}^2{c}^2$ 以上である。よって$${\displaystyle \frac{V_{OPQR}}{V_{OABC}}}\leqq {\displaystyle \frac{2a^2{b}^2{c}^2}{8a^2{b}^2{c}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$等号は $a=b=c$ のときに成り立つ。

$P,Q,R$ は底面 $ABC$ の3辺上にある

空間の体積計算を行わず、共通の高さから底面積比だけを求める。三角形 $ABC$ を平面上の標準三角形へ移し、3点の辺上の座標を射影比から書いて座標面積公式を適用する。

(1)
$x=a^2,y=b^2,z=c^2$ とおく。解法1と同じ射影の関係から$$BP:PC=y:z,CQ:QA=z:x,AR:RB=x:y\mathrm{.}$$面積比を保つように三角形 $ABC$ を$$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$$へ移して考える。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{z}{y+z}},{\displaystyle \frac{y}{y+z}}),}\\ {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(0,{\displaystyle \frac{x}{x+z}}),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{x}{x+y}},0)\mathrm{.}}\end{array}$$座標による三角形の面積公式を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{[PQR]}{[ABC]}}=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{xz}{(y+z)(x+z)}}+{\displaystyle \frac{xy}{(x+y)(y+z)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{x^2}{(x+z)(x+y)}}}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\mathrm{.}}\end{array}$$$x=a^2,y=b^2,z=c^2$ を戻し、共通の高さをもつ四面体の体積比が底面積比に等しいことを使えば$${\displaystyle \frac{V_{OPQR}}{V_{OABC}}}={\displaystyle \frac{2a^2{b}^2{c}^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\mathrm{.}$$(2)
相加相乗平均より$$(x+y)(y+z)(z+x)\geqq 8xyz$$だから、この比は $1\mathrm{/}4$ 以下である。