Evolton

京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

空間の，同一平面上にない4点O，A，B，Cを考える．
線分OA，AB，BC，COの上にそれぞれ点P1，P2，P3，P4があって
P1P2P3P4が平行四辺形をなすものとする．
このとき次の問いに答えよ．

(1) ∣OP1→∣:∣P1A→∣=k:(1−k)，
∣AP2→∣:∣P2B→∣=(1−l):l，
∣BP3→∣:∣P3C→∣=m:(1−m)，
∣CP4→∣:∣P4O→∣=(1−n):nとすれば，
k=l=m=nであることを示せ．
ただし，∣∣はベクトルの大きさを表わす．

(2) 平行四辺形P1P2P3P4の対角線の交点は，
線分OB，ACのそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．

難易度5/ 10計算量4/ 10目安15分

ベクトル　ベクトル成分計算、同値変形、図形的解釈

方針

O を基準にして OA→=a⃗, OB→=b⃗, OC→=c⃗ と置く。4点が同一平面上にないため a⃗,b⃗,c⃗ は一次独立である。平行四辺形条件を対角線の中点一致、すなわち P⃗1+P⃗3=P⃗2+P⃗4 に直し、係数比較で4つの比をそろえる。

解答

(1)
位置ベクトルをOA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗とする。4点 O,A,B,C は同一平面上にないので、a⃗,b⃗,c⃗ は一次独立である。

点がそれぞれの線分上にあることと、与えられた比から OP1→=ka⃗, OP2→=la⃗+(1−l)b⃗, OP3→=(1−m)b⃗+mc⃗, OP4→=nc⃗ と表せる。ここで k,l,m,n はいずれも 0 以上 1 以下である。 P1P2P3P4 が平行四辺形であるから、対角線 P1P3 と P2P4 の中点は一致する。したがってOP1→+OP3→=OP2→+OP4→である。代入すると ka⃗+(1−m)b⃗+mc⃗=la⃗+(1−l)b⃗+nc⃗ となる。a⃗,b⃗,c⃗ は一次独立なので係数を比較でき、k=l,1−m=1−l,m=n を得る。第2式は m=l を意味するから k=l=m=n である。

(2)
共通の値を r とする。0≦r≦1 である。平行四辺形の対角線の交点を M とすると、対角線の中点であるからOM→=12(OP1→+OP3→)=12{ra⃗+(1−r)b⃗+rc⃗}である。
線分 OB の中点を U、線分 AC の中点を V とするとOU→=12b⃗,OV→=12(a⃗+c⃗)である。よって(1−r)OU→+rOV→=12{(1−r)b⃗+ra⃗+rc⃗}=OM→となる。 0≦r≦1 だから、M は U と V を結ぶ線分上にある。すなわち、平行四辺形 P1P2P3P4 の対角線の交点は、線分 OB, AC のそれぞれの中点を結ぶ線分上にある。
\newpage

別解

解法2（向かい合う辺ベクトルを比較する）

方針

平行四辺形条件を P1P2→=P4P3→ と書く。
a⃗,b⃗,c⃗ の係数比較で比をそろえ、その共通値から対角線交点を中点間の内分点として表す。

解答

(1) OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗ とする。
4点が同一平面上にないので3ベクトルは一次独立である。与えられた比からOP1→=ka⃗,OP2→=la⃗+(1−l)b⃗,OP3→=(1−m)b⃗+mc⃗,OP4→=nc⃗.平行四辺形の向かい合う辺よりP1P2→=P4P3→.両辺を代入して係数を比較するとl−k=0,1−l=1−m,m−n=0,よって k=l=m=n=r である。

(2)
対角線交点を M、OB,AC の中点を U,V とするとOM→=12{ra⃗+(1−r)b⃗+rc⃗}=(1−r)OU→+rOV→.0≦r≦1 なので M は線分 UV 上にある。

総評

空間ベクトルの係数比較問題。目安時間は15分。同一平面上にないという条件は、a⃗,b⃗,c⃗ の一次独立性を保証するために使う。平行四辺形条件は対角線の中点一致で処理するのが最も自然で、最後に共通比 r が 0≦r≦1 であることを添えると「線分上」であることまで明確に示せる。
\newpage

冊子PDFで見る京大のベクトルの問題で問題集を作る

出典: 京都大学 1981年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。