京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),A^2=I$$を成分比較すると$$a^2+bc=1,b(a+d)=0,d^2+bc=1$$を得る。$b\mathrm{\ne }0$ より$$d=-a,a^2+bc=1.$$点 $P$ の位置ベクトルを $\mathbf{p}$、像 $Q$ の位置ベクトルを $A\mathbf{p}$ とする。中点 $M$ の位置ベクトルは$$\mathbf{m}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathbf{p}+A\mathbf{p})$$である。すると$$A\mathbf{m}={\displaystyle \frac{1}{2}}(A\mathbf{p}+A^2\mathbf{p})=\mathbf{m}\mathrm{.}$$$M=(X,Y)$ と書けば、$A\mathbf{m}=\mathbf{m}$ の第1成分から$$(a-1)X+bY=0.$$これは原点を通る定直線$$l:(a-1)X+bY=0$$である。

(2)

直線 $l$ の方向ベクトルには$${\mathbf{e}}_{+}=\left(\begin{array}{c}b\\ 1-a\end{array}\right)$$を取れる。一方、$PQ$ の方向ベクトルを$$\mathbf{v}=(A-I)\mathbf{p}$$とすると$$A\mathbf{v}=A(A-I)\mathbf{p}=(I-A)\mathbf{p}=-\mathbf{v}\mathrm{.}$$したがって $PQ$ は、$A$ によって符号が反転する一定の方向をもつ。その方向ベクトルには$${\mathbf{e}}_{-}=\left(\begin{array}{c}b\\ -a-1\end{array}\right)$$を取れる。

よって $PQ\perp l$ が常に成り立つための必要十分条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathbf{e}}_{+}\cdot {\mathbf{e}}_{-}}& {\displaystyle =b^2+(1-a)(-a-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2-(1-a^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2-bc=b(b-c)}\end{array}$$が0となることである。$b\mathrm{\ne }0$ なので、これは$$b=c$$と同値である。

像 Q の座標と中点 M の座標を成分で書く。M の二つの式から x,y を消去して定直線を得る。さらに PQ の方向ベクトルと直線 l の方向ベクトルの内積を x,y の一次式として計算し、それがすべての P で0になる条件を求める。

(1)

$A^2=I$、$b\mathrm{\ne }0$ から、成分比較により$$d=-a,a^2+bc=1$$である。像 $Q=(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ は$$x^{\mathrm{\prime }}=ax+by,y^{\mathrm{\prime }}=cx-ay$$と表される。中点 $M=(X,Y)$ について$$2X=(a+1)x+by,2Y=cx+(1-a)y\mathrm{.}$$この2式から$$(a-1)X+bY=0$$を得るので、中点は定直線 $l:(a-1)X+bY=0$ 上にある。

(2)

直線 $l$ の方向ベクトルを $(b,1-a)$ とする。線分 $PQ$ の方向ベクトルは$$(x^{\mathrm{\prime }}-x,y^{\mathrm{\prime }}-y)=((a-1)x+by,cx-(a+1)y)$$である。内積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle b\{(a-1)x+by\}+(1-a)\{cx-(a+1)y\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a-1)(b-c)x+\{b^2-(1-a^2)\}y}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b-c)\{(a-1)x+by\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $1-a^2=bc$ を用いた。

$b=c$ ならこの内積はすべての $x,y$ で0となるので十分である。逆に、すべての $P$ に対して0になるなら、$(a-1)x+by$ は恒等的に0ではないから $b-c=0$ が必要である。よって必要十分条件は $b=c$ である。