京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(i)

球面(A)の中心は原点であり、半径の2乗は ${\displaystyle \frac{r^2+2}{3}}$ である。一方、平面(B) $x+y+z=r$ と原点との距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{r}{\sqrt{3}}}$$ であるから、その2乗は ${\displaystyle \frac{r^2}{3}}$ である。

したがって、球面と平面の共通部分 $D$ は円であり、その半径の2乗は $${\displaystyle \frac{r^2+2}{3}}-{\displaystyle \frac{r^2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。よって $D$ は半径 $\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$ の円である。

円上の2点間の距離は直径以下であるから、$P,Q\in D$ に対して $\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }\leqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$ が成り立つ。

(ii)

整数解 $(x,y,z)$ があるとする。条件より $$x+y+z=r,x^2+y^2+z^2={\displaystyle \frac{r^2+2}{3}}$$ である。ここで恒等式 $$(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z{)}^2$$ を用いると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2}& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{r^2+2}{3}}-r^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2}\end{array}$$となる。

左辺は整数の平方の和である。平方の和が2になるには、3つの平方が $1,1,0$ でなければならない。したがって、$x,y,z$ のうち2つは等しく、残り1つはそれらより1だけ大きいか、1だけ小さい。

よって整数解は、ある整数 $k$ を用いて $(k,k,k+1)$ の並べ替え、または $(k,k,k-1)$ の並べ替えに限られる。

前者の和は $3k+1$ である。したがって $r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $$k={\displaystyle \frac{r-1}{3}}$$ となり、解は $({\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r+2}{3}})$ の並べ替えである。

後者の和は $3k-1$ である。したがって $r\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $$k={\displaystyle \frac{r+1}{3}}$$ となり、解は $({\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r-2}{3}})$ の並べ替えである。 $r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときは、上の2つの形のどちらの和にもならないので整数解は存在しない。

以上より、整数解は次の通りである。$$\{\begin{array}{ll}({\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r+2}{3}})\text{ の並べ替え},& r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ ({\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r-2}{3}})\text{ の並べ替え},& r\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ \text{整数解なし},& r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}\end{array}$$

平面上の円の中心 $H=(r\mathrm{/}3,r\mathrm{/}3,r\mathrm{/}3)$ を直接求め、各点の $H$ からの距離を計算する。(ii)では和と平方和から差の平方和を作り、整数の平方が $1,1,0$ に限られることを利用する。

(i)
原点から平面 $x+y+z=r$ へ下ろした垂線の足は$$H=({\displaystyle \frac{r}{3}},{\displaystyle \frac{r}{3}},{\displaystyle \frac{r}{3}})$$である。$P=(x,y,z)\in D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{HP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =x^2+y^2+z^2-{\displaystyle \frac{2r}{3}}(x+y+z)+{\displaystyle \frac{r^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{r^2+2}{3}}-{\displaystyle \frac{2r^2}{3}}+{\displaystyle \frac{r^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $D$ は半径 $\sqrt{2\mathrm{/}3}$ の円であり，三角不等式から$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{PH}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{HQ}\mathrm{\mid }=2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\mathrm{.}$$(ii)
整数解なら$$(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z{)}^2=2.$$3個の整数の平方が $1,1,0$ になるので，$(x,y,z)$ は $(k,k,k+1)$ または $(k,k,k-1)$ の並べ替えである。和を $r$ と比較して$$\{\begin{array}{ll}({\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r-1}{3}},{\displaystyle \frac{r+2}{3}})\text{ の並べ替え},& r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ ({\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r+1}{3}},{\displaystyle \frac{r-2}{3}})\text{ の並べ替え},& r\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ \text{整数解なし},& r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$を得る。