京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

平面 $x+y+z=t$ と3本の座標軸との交点は$$(t,0,0),(0,t,0),(0,0,t)$$である。どの2点間の距離も $\sqrt{2}t$ なので、切り口は一辺 $\sqrt{2}t$ の正三角形である。したがって$$T(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(\sqrt{2}t{)}^2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$(2)

$0<t\leqq 1$ では、(1)の切り口全体が立方体 $C$ に入る。よって$$S(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$$1\leqq t\leqq 2$ では、(1)の正三角形から $x>1$、$y>1$、$z>1$ の部分を除く。例えば $x>1$ の部分は $X=x-1$ と置けば$$X+y+z=t-1$$の第一象限内の切り口と合同で、面積は $T(t-1)$ である。3部分は互いに重ならないから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =T(t)-3T(t-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\{t^2-3(t-1{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(-2t^2+6t-3)\mathrm{.}}\end{array}$$立方体の中心 $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ に関する点対称$$(x,y,z)⟼(1-x,1-y,1-z)$$は、切断面 $x+y+z=t$ を $x+y+z=3-t$ に移す。したがって$$S(t)=S(3-t)\mathrm{.}$$よって最大値は $1\leqq t\leqq 2$ で調べればよい。二次式を平方完成すると$$-2t^2+6t-3={\displaystyle \frac{3}{2}}-2{(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2\mathrm{.}$$したがって $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ のとき最大となり、求める最大値は$$\text{最大値}{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$$である。

平面を $z=t-x-y$ と見て $xy$ 平面へ正射影する。面積要素は一定倍率 $\sqrt{3}$ で伸びる。$1\leqq t\leqq 2$ では単位正方形から2個の直角三角形を除いた領域が投影図となるので、その面積を直接最大化する。

(1)

切断面を$$z=t-x-y$$と表す。この平面上の面積は、$xy$ 平面への正射影の面積の $$\sqrt{1+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}$$ 倍である。

第一象限 $A$ の切り口を投影すると、$x\geqq 0$、$y\geqq 0$、$x+y\leqq t$ で定まる直角二等辺三角形になる。その投影面積は ${\displaystyle \frac{t^2}{2}}$ なので$$T(t)=\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{t^2}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$(2)

$1\leqq t\leqq 2$ のとき、条件 $0\leqq z\leqq 1$ は$$t-1\leqq x+y\leqq t$$となる。したがって投影領域は単位正方形から、脚の長さがそれぞれ $t-1$、$2-t$ の直角二等辺三角形を除いた部分である。その面積を $A(t)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(t)}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{(2-t{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{4}}-{(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S(t)=\sqrt{3}A(t)\leqq {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}},$$等号は $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ で成り立つ。

$0<t\leqq 1$ では投影領域は脚の長さ $t$ の直角二等辺三角形なので$$S(t)=\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{t^2}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$$2\leqq t<3$ では対称性により同じ評価になる。したがって全範囲での最大値は$${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$$である。