京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

元の四辺形を $A_0{B}_0{C}_0{D}_0$ と書き、各点の位置ベクトルを対応する小文字で表す。

(1) $$\mathbf{p}={\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_0+{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{c}}_0+{\mathbf{d}}_0}{4}}$$と置く。$A_1$ は三角形 $B_0{C}_0{D}_0$ の重心なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathbf{a}}_1-\mathbf{p}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{c}}_0+{\mathbf{d}}_0}{3}}-\mathbf{p}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{3}}({\mathbf{a}}_0-\mathbf{p})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $A_0,P,A_1$ は一直線上にある。他の3頂点についても同じなので、4本の線分は $P$ で交わる。

(2)

操作後の四点の位置ベクトルの和を取ると、元の各ベクトルが3回ずつ現れて3で割られるので$${\mathbf{a}}_1+{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{c}}_1+{\mathbf{d}}_1={\mathbf{a}}_0+{\mathbf{b}}_0+{\mathbf{c}}_0+{\mathbf{d}}_0\mathrm{.}$$よって四点の平均 $P$ は操作を繰り返しても変わらない。各段階で同じ計算をすれば$${\mathbf{a}}_{n+1}-\mathbf{p}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}({\mathbf{a}}_n-\mathbf{p})\mathrm{.}$$したがって$${\mathbf{a}}_n-\mathbf{p}={(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n({\mathbf{a}}_0-\mathbf{p})\mathrm{.}$$よってすべての $A_n$ は直線 $A_{0}P$ 上にある。

(3)

上式の長さを取ると$$\overline{A_{n}P}={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\overline{A_{0}P}\mathrm{.}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\overline{A_{n}P}=0.$$

各段階の四点の重心が同じ点 $P$ であることを重みの考え方で示す。$P$ は $A_n$ と、残り三点の重心 $A_{n+1}$ を3:1に内分するので、$A_{n}P:P{A}_{n+1}=3:1$ が毎回成り立つ。これを帰納的に繰り返す。

(1)

四点 $A_n,B_n,C_n,D_n$ に同じ重み1を置く。4点の重心を $P_n$ とする。操作後の4点の和は操作前の4点の和と等しいから$$P_{n+1}=P_n\mathrm{.}$$したがって、この共通の点を $P$ と書ける。

$B_n,C_n,D_n$ の三つをまとめた重心が $A_{n+1}$ であり、その重みは3である。よって全体の重心 $P$ は、重み1の $A_n$ と重み3の $A_{n+1}$ の間にあり$$A_{n}P:P{A}_{n+1}=3:1$$を満たす。したがって $A_{n+1}$ は直線 $A_{n}P$ 上で $A_n$ と反対側にあり$$\overline{A_{n+1}P}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overline{A_{n}P}\mathrm{.}$$$n=0$ とすれば、$A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$ はすべて同じ点 $P$ を通る。これで (1) が示された。

(2)

これを繰り返せば、すべての $A_n$ は最初の直線 $A_{0}P$ 上にあり$$\overline{A_{n}P}={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\overline{A_{0}P}$$となる。

(3)

$0<{\displaystyle \frac{1}{3}}<1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\overline{A_{n}P}=0$$である。