京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $P(t+1,t)$ と $Q(t-1,-t)$ の中点は $(t,0)$ であり、線分 $PQ$ を含む直線の傾きは $${\displaystyle \frac{t-(-t)}{(t+1)-(t-1)}}=t$$ である。したがって、その直線は $y=t(x-t)$ と表せる。

ただし今回は直線全体ではなく線分であるから、点 $(x,y)$ が線分 $PQ$ 上にある条件は $$y=t(x-t),\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }\leqq 1,0\leqq t\leqq 1$$ である。よって固定した $x$ に対し、許される $t$ の範囲は $$0\leqq t\leqq 1,x-1\leqq t\leqq x+1$$ を同時に満たす部分である。これより通過範囲の $x$ 座標は $-1\leqq x\leqq 2$ に限られる。 $-1\leqq x\leqq 0$ では $0\leqq t\leqq x+1$ である。この範囲では $x\leqq 0$ なので $y=t(x-t)$ は $t$ が増えるほど小さくなる。したがって上端は $t=0$ の $y=0$ であり、下端は $t=x+1$ の $y=(x+1)\{x-(x+1)\}=-x-1$ である。縦の長さは $x+1$ である。 $0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq t\leqq 1$ である。二次式 $t(x-t)$ は $t=x\mathrm{/}2$ で最大になり、$$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ である。最小値は端点で比べればよく、$t=0$ で $0$、$t=1$ で $x-1$ だから、下端は $y=x-1$ である。 $1\leqq x\leqq 2$ では $x-1\leqq t\leqq 1$ である。この範囲にも $t=x\mathrm{/}2$ が含まれるので、上端は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ である。両端では $t=x-1,1$ のどちらでも $y=x-1$ となるから、下端は $y=x-1$ である。

したがって求める面積は$${\int }_{-1}^0(x+1)dx+{\int }_0^1({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx+{\int }_1^2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx$$である。各積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^0(x+1)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}},}\\ {\displaystyle {\int }_0^1({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{12}},}\\ {\displaystyle {\int }_1^2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}}\end{array}$$であるから、面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$$ である。

上端は包絡放物線、下端は線分の端点が描く折れ線

動く直線族 $y=t(x-t)$ の包絡線と、線分の両端
$P,Q$ が描く2本の直線を先に求める。それらから掃過領域の
上端・下端を読み、縦断面を3区間に分けて積分する。

直線族は$$y=t(x-t)$$である。固定した $x$ に対する右辺の最大値は
$t=x\mathrm{/}2$ のときの $x^2\mathrm{/}4$ だから、上側の包絡線は$$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}\mathrm{.}$$一方、端点 $Q(t-1,-t)$ は$$y=-x-1(-1\leqq x\leqq 0),$$端点 $P(t+1,t)$ は$$y=x-1(1\leqq x\leqq 2)$$を動く。$0\leqq x\leqq 1$ の下端も $t=1$ で
$y=x-1$ となる。

よって掃過領域の縦の長さは$$\{\begin{array}{ll}x+1& (-1\leqq x\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1& (0\leqq x\leqq 2)\end{array}$$である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0(x+1)dx+{\int }_0^2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{7}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$