京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $QP$, $QR$, $QS$ は互いに直交しているので $$QP=x,QR=y,QS=z$$ とおくと、四面体 $PQRS$ の体積は $V={\displaystyle \frac{1}{6}}xyz$ である。
また直角三角形 $PQR$, $PQS$ に注目すると $$P{R}^2=x^2+y^2,P{S}^2=x^2+z^2$$ である。$PR=PS=a$ より $x^2+y^2=x^2+z^2$ となり、長さは正なので $y=z$ である。
さらに $x^2+y^2=a^2$ だから $$V={\displaystyle \frac{1}{6}}x{y}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}x(a^2-x^2)(0<x<a)$$ である。 $F(x)=x(a^2-x^2)$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(x)=a^2-3x^2$ である。よって $F(x)$ は $x=a\mathrm{/}\sqrt{3}$ で最大となる。このとき $$y^2=a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}={\displaystyle \frac{2a^2}{3}}$$ であるから、最大体積は$$V_{\max }={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\cdot {\displaystyle \frac{2a^2}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{27}}{a}^3$$である。

(2)
対角線 $AC$ の長さを $d$ とする。$AB=BC=a$, $AD=CD=a$ であるから、三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ は、いずれも底辺 $AC=d$、等しい2辺が $a$ の二等辺三角形である。
底辺 $AC$ に対する高さを $h$ とすると $$h^2=a^2-{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2$$ である。

四面体の底面を三角形 $ABC$ と見る。この底面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}dh$ である。点 $D$ から平面 $ABC$ までの距離は、点 $D$ から直線 $AC$ までの距離 $h$ を超えない。したがって$$V\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}dh\cdot h={\displaystyle \frac{1}{6}}d{h}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}d(a^2-{\displaystyle \frac{d^2}{4}})$$である。
この等号は、三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ の平面が直線 $AC$ を軸として直交するように置いたときに実現できる。したがって、あとは $$G(d)=d(a^2-{\displaystyle \frac{d^2}{4}})(0<d<2a)$$ の最大値を求めればよい。

微分すると $$G^{\mathrm{\prime }}(d)=a^2-{\displaystyle \frac{3d^2}{4}}$$ であるから、最大は $$d={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}$$ のときに生じる。このとき$$G(d)={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}(a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})={\displaystyle \frac{4a^3}{3\sqrt{3}}}$$である。よって最大体積は $$V_{\max }={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{4a^3}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{27}}{a}^3$$ である。
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体積の上限を出す幾何部分は同じだが、最後の1変数最大化を微分せず処理する。
$0<u<1$ に対する $u(1-u{)}^2\leqq 4\mathrm{/}27$ を相加平均・相乗平均から示す。

(1) $QP=x,QR=QS=y$ と置けば$$x^2+y^2=a^2,V={\displaystyle \frac{1}{6}}x{y}^2\mathrm{.}$$$u=x^2\mathrm{/}{a}^2$ とすると$$V^2={\displaystyle \frac{a^6}{36}}u(1-u{)}^2\mathrm{.}$$正の3数 $u,(1-u)\mathrm{/}2,(1-u)\mathrm{/}2$ の和は1だから$$u{\left({\displaystyle \frac{1-u}{2}}\right)}^2\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3\mathrm{.}$$よって $u(1-u{)}^2\leqq 4\mathrm{/}27$ であり、等号は $u=1\mathrm{/}3$ のときである。したがって$$V_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{27}}{a}^3\mathrm{.}$$(2) $AC=d$、2つの二等辺三角形の $AC$ への高さを $h$ とすると$$h^2=a^2-{\displaystyle \frac{d^2}{4}},V\leqq {\displaystyle \frac{1}{6}}d{h}^2\mathrm{.}$$等号は2平面が $AC$ を軸として直交するときに実現する。$u=d^2\mathrm{/}(4a^2)$ と置けば$$V^2\leqq {\displaystyle \frac{a^6}{9}}u(1-u{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{4a^6}{243}}\mathrm{.}$$よって$$V_{\max }={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{27}}{a}^3\mathrm{.}$$