京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $P(t+1,t)$ と $Q(t-1,-t)$ を通る直線の傾きは $${\displaystyle \frac{t-(-t)}{(t+1)-(t-1)}}=t$$ である。またこの直線は中点 $(t,0)$ を通るので $y=t(x-t)$ と表せる。

点 $(x,y)$ を通る直線 $PQ$ が存在するには、ある実数 $t$ に対して $y=t(x-t)$ となればよい。これは $t^2-xt+y=0$ という $t$ についての二次方程式が実数解をもつことと同値である。したがって判別式より $x^2-4y\geqq 0$ すなわち $$y\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ である。

よって、直線 $PQ$ が通過する範囲は、放物線 $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ およびその下側全体である。

(2)
線分 $PQ$ 上にあるためには、直線上にあることに加えて、点 $(x,y)$ が中点 $(t,0)$ から両端までの範囲に入っている必要がある。したがって $$y=t(x-t),\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }\leqq 1,0\leqq t\leqq 1$$ である。

固定した $x$ に対して、許される $t$ は $$0\leqq t\leqq 1,x-1\leqq t\leqq x+1$$ を同時に満たす。よって $x$ の範囲は $-1\leqq x\leqq 2$ である。 $-1\leqq x\leqq 0$ では $0\leqq t\leqq x+1$ であり、$t(x-t)$ はこの範囲で減少する。したがって上端は $0$、下端は $-x-1$ である。 $0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq t\leqq 1$ である。上端は $t=x\mathrm{/}2$ のとき $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ であり、下端は $t=1$ のとき $y=x-1$ である。 $1\leqq x\leqq 2$ では $x-1\leqq t\leqq 1$ である。上端は同じく $$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$$ であり、下端は両端 $t=x-1,1$ で同じ値 $y=x-1$ を取る。

したがって面積は$${\int }_{-1}^0(x+1)dx+{\int }_0^1({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx+{\int }_1^2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx$$である。計算すると $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$$ となる。

直線全体は放物線の下側、線分はその中の有限部分を通る

(1) は点 $(x,y)$ を通る直線のパラメータ $t$ に関する
2次方程式の判別式で求める。(2)は包絡線と端点軌跡から
有限な掃過領域の境界を直接組み立てる。

(1)
直線 $PQ$ は$$y=t(x-t)$$である。点 $(x,y)$ を通る実数 $t$ が存在する条件は$$t^2-xt+y=0$$の判別式が非負であること、すなわち$$y\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{4}}\mathrm{.}$$よって通過範囲はこの放物線とその下側である。

(2)
$0\leqq t\leqq 1$ で線分を動かすと、上端は包絡線
$y=x^2\mathrm{/}4$、下端は$$y=-x-1(-1\leqq x\leqq 0),y=x-1(0\leqq x\leqq 2)$$となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0(x+1)dx+{\int }_0^2({\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$