京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
点 $n$ に到達する直前の位置は $n-1$ または $n-2$ だけである。前者からは表、後者からは裏を出せばよいから$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-2}(n\geqq 3)$$である。

(2)
点1へは表1回で到達する。点2へは裏1回、または表2回で到達するので$$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}},p_2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$漸化式を変形すると$$p_n-p_{n-1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(p_{n-1}-p_{n-2})\mathrm{.}$$そこで $d_n=p_n-p_{n-1}$ とおけば$$d_2={\displaystyle \frac{1}{4}},d_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-2}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =p_1+d_2+d_3+\cdots +d_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}}\end{array}$$点 $n$ へ入る最後の一歩は2通りだけである

歩みは右向きだけなので、点 $n$ に到達しない場合は、初めて $n$ を越すときに $n-1$ から裏で $n+1$ へ進む。この余事象から一次漸化式を作る。

(1)
最後の一歩で表・裏を分ければ$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-2}(n\geqq 3)$$を得る。

(2)
歩みは1または2ずつ右へ進む。点 $n$ に到達しない場合、初めて $n$ を越す一歩は、点 $n-1$ から裏を出して点 $n+1$ へ進む場合に限る。したがって$$1-p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1},$$すなわち$$p_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{n-1}(n\geqq 2)$$である。定数解は $2\mathrm{/}3$ だから$$p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(p_{n-1}-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}$$初期値 $p_1=1\mathrm{/}2$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}}& {\displaystyle ={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$p_n={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$である。この式は $p_2=3\mathrm{/}4$ とも一致する。