京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$A=(0,0),B=(b,0),C=(0,c)$ とおく。ただし $b,c>0$ である。点 $P$ を$$P=(bu,c(1-u))(0\leqq u\leqq 1)$$と表す。

辺 $BC$ の傾きは $-c\mathrm{/}b$ だから、それに垂直な直線の傾きは $b\mathrm{/}c$ である。点 $P$ から $AB$ への垂線は $x=bu$、点 $P$ から $AC$ への垂線は $y=c(1-u)$ である。したがって$$Q=(bu,-{\displaystyle \frac{b^2(1-u)}{c}}),R=(-{\displaystyle \frac{c^{2}u}{b}},c(1-u))\mathrm{.}$$(1)
$Q=(Q_x,Q_y),R=(R_x,R_y)$ と書くと$$Q_x{R}_y-Q_y{R}_x=bcu(1-u)-bcu(1-u)=0.$$よって $\overrightarrow{AQ}$ と $\overrightarrow{AR}$ は平行であり、$Q,A,R$ は一直線上にある。

(2)
$BQ,CR$ はともに $BC$ と垂直であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle BQ}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b(1-u)}{c}}\sqrt{b^2+c^2},}\\ {\displaystyle CR}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{cu}{b}}\sqrt{b^2+c^2}\mathrm{.}}\end{array}$$台形の平行な2辺は $BQ,CR$、その間の距離は $$BC=\sqrt{b^2+c^2}$$ である。面積条件は$${\displaystyle \frac{BQ+CR}{2}}\sqrt{b^2+c^2}=bc\mathrm{.}$$整理すると$$b^2+u(c^2-b^2)={\displaystyle \frac{2b^2{c}^2}{b^2+c^2}}\mathrm{.}$$$b\mathrm{\ne }c$ なので$$u={\displaystyle \frac{b^2}{b^2+c^2}}\mathrm{.}$$このとき$$BQ=CR={\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}}\mathrm{.}$$したがって、一組の向かい合う辺が平行かつ等しく、しかも $BQ\perp BC$ である。ゆえに台形 $BCRQ$ は長方形である。

点 $A,Q,R$ は同一直線上に並ぶ

辺 $BC$ を水平に置くと、半直線 $l,m$ は鉛直になる。直角条件を1本の式にし、$Q,R$ の高さを求める。面積条件から2本の高さがともに三角形の高さと一致することを示す。

$B=(0,0),C=(d,0),A=(s,k)$ とおく。ただし $0<s<d,k>0$ である。$AB\perp AC$ だから$$k^2=s(d-s)\mathrm{.}$$また $$P=(r,0)(0\leqq r\leqq d)$$ とおく。

$l,m$ はそれぞれ直線 $x=0,x=d$ である。$PQ\perp AB$、$PR\perp AC$ を使うと$$Q=(0,{\displaystyle \frac{rs}{k}}),R=(d,{\displaystyle \frac{(d-r)(d-s)}{k}})\mathrm{.}$$(1)
線分 $QR$ 上で横座標が $s$ となる点の縦座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{d-s}{d}}\cdot {\displaystyle \frac{rs}{k}}+{\displaystyle \frac{s}{d}}\cdot {\displaystyle \frac{(d-r)(d-s)}{k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{s(d-s)}{k}}=k\mathrm{.}}\end{array}$$これは点 $A=(s,k)$ である。よって $Q,A,R$ は一直線上にある。

(2)
台形の面積が三角形の2倍である条件は$${\displaystyle \frac{d}{2}}({\displaystyle \frac{rs}{k}}+{\displaystyle \frac{(d-r)(d-s)}{k}})=dk\mathrm{.}$$したがって$$rs+(d-r)(d-s)=2s(d-s),$$すなわち$$(2s-d)r=(2s-d)(d-s)\mathrm{.}$$ここで$$A{B}^2=sd,A{C}^2=(d-s)d$$だから、$AB\mathrm{\ne }AC$ より $2s-d\mathrm{\ne }0$ である。ゆえに $r=d-s$ となる。このとき$$BQ={\displaystyle \frac{rs}{k}}=k,CR={\displaystyle \frac{(d-r)(d-s)}{k}}=k\mathrm{.}$$よって $BQ=CR$ であり、両者は $BC$ に垂直であるから、台形 $BCRQ$ は長方形である。