京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
2本の列ベクトル$$\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$は、条件 $ab+cd=0$ より互いに直交する。さらに $ad-bc\mathrm{\ne }0$ なので第一列は零ベクトルではない。そこで$$v=\sqrt{a^2+c^2}>0,a=v\cos \theta ,c=v\sin \theta$$とおく。$a,c\geqq 0$ だから $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ と取れる。

第二列は第一列に垂直だから、ある実数 $u$ によって$$b=-uv\sin \theta ,d=uv\cos \theta$$と表せる。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}v\cos \theta & -v\sin \theta \\ v\sin \theta & v\cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& u\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right),0\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$とおく。右側の行列を先に作用させたベクトルは$$\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ u\sin \varphi \end{array}\right)$$である。その偏角を ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}$ とすると、$0<u<1$ より$$0\leqq {\varphi }^{\mathrm{\prime }}\leqq \varphi \mathrm{.}$$等号 ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}=\varphi$ は $\varphi =0$ または $\varphi =\pi \mathrm{/}2$ のときに限る。

左側の行列は、長さを $v$ 倍して角度を $\theta$ だけ回転する。したがって$$\gamma =\theta +{\varphi }^{\mathrm{\prime }}-\varphi \leqq \theta \mathrm{.}$$ここで $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ なので、角度を $(-\pi ,\pi ]$ へ取り直すことによる飛びはない。等号条件から、求めるベクトルは$$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{または}\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$である。

$0<u<1$ では偏角は増えない

(1) では直交する第二列の倍率を成分で明示する。(2) では元のベクトルと縦成分を縮めたベクトルのなす有向角の正弦を成分計算し、その角度が0以下であることから最大を決める。

(1) $$v=\sqrt{a^2+c^2}$$ とする。$ad-bc\mathrm{\ne }0$ より $v>0$ である。さらに$$u={\displaystyle \frac{ad-bc}{a^2+c^2}}$$とおく。$ab+cd=0$ を使うと$$b=-uc,d=ua$$が確かめられる。$a,c\geqq 0$ なので$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{a}{v}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{c}{v}},0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$とおけば、指定された積の形を得る。

(2) $$E=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right),W=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ u\sin \varphi \end{array}\right)$$とおく。$E$ から $W$ への有向角を $\delta$ とすると、成分から$$\sin \delta ={\displaystyle \frac{(u-1)\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt{{\cos }^2\varphi +u^2{\sin }^2\varphi }}}\leqq 0.$$両ベクトルは第1象限にあるので$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\delta \leqq 0.$$また $0<u<1$ だから、$\delta =0$ となるのは$$\sin \varphi \cos \varphi =0,$$すなわち $\varphi =0,\pi \mathrm{/}2$ のときだけである。

行列 $A$ の左側の因子は角度を $\theta$ だけ回転するから$$\gamma =\theta +\delta \leqq \theta \mathrm{.}$$したがって最大にするベクトルは$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$の2本である。