京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

向きを変えた後、到達までにかかる時間を $\tau >0$ とする。時刻 $t$ の $P$ と、到達時刻 $t+\tau$ の $Q$ の位置は$$P=(t-a,0),Q=(0,t+\tau -b)\mathrm{.}$$$P$ がその後に進む距離は $\sqrt{2}\tau$ だから$$(t-a{)}^2+(t+\tau -b{)}^2=2{\tau }^2\mathrm{.}$$$\tau$ の正の解を取ると$$\tau =F(t)=t-b+\sqrt{(t-a{)}^2+2(t-b{)}^2}\mathrm{.}$$微分すれば$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=1+{\displaystyle \frac{3t-a-2b}{\sqrt{(t-a{)}^2+2(t-b{)}^2}}}\mathrm{.}$$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ なら$$\sqrt{(t-a{)}^2+2(t-b{)}^2}=a+2b-3t\mathrm{.}$$両辺を2乗すると$$(t-b)(3t-2a-b)=0.$$$t=b$ では2乗前の右辺が $a-b<0$ となるので不適である。一方$$t={\displaystyle \frac{2a+b}{3}}$$では2乗前の右辺も正である。さらに$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2(b-a{)}^2}{{\{(t-a{)}^2+2(t-b{)}^2\}}^{3\mathrm{/}2}}}>0$$だから、これがただ1つの最小点である。

到達点は時刻 $t$ の $Q$ ではなく、時刻 $t+\tau$ の位置

距離方程式を、切替時刻ではなく $y=t-b$ に関する二次方程式と見る。実際に切替時刻が存在するための判別条件から、所要時間 $\tau$ の下限を直接求める。

$d=b-a>0$、$y=t-b$ とおく。すると$$t-a=y+d,t+\tau -b=y+\tau \mathrm{.}$$到達条件は$$(y+d{)}^2+(y+\tau {)}^2=2{\tau }^2,$$すなわち$$2y^2+2(d+\tau )y+d^2-{\tau }^2=0.$$実際の切替時刻に対応する実数 $y$ が存在するためには、この二次方程式の判別条件より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle \leqq \{2(d+\tau ){\}}^2-8(d^2-{\tau }^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(3\tau -d)(\tau +d)}\end{array}$$でなければならない。$\tau >0,d>0$ だから$$\tau \geqq {\displaystyle \frac{d}{3}}={\displaystyle \frac{b-a}{3}}\mathrm{.}$$等号のとき二次方程式は重解をもち$$y=-{\displaystyle \frac{d+\tau }{2}}=-{\displaystyle \frac{2d}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$t=b+y=b-{\displaystyle \frac{2(b-a)}{3}}={\displaystyle \frac{2a+b}{3}}\mathrm{.}$$この値は正で、実際に $\tau =(b-a)\mathrm{/}3$ を実現する。よって求める時刻は$$t={\displaystyle \frac{2a+b}{3}}\mathrm{.}$$