京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

まず $g^{\mathrm{\prime }}(x)=x+1$ より $$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+C$$ とおける。条件 $f(x)=g(x{)}^2+a$ と $f(-1)=f(1)=0$ から $$g(-1{)}^2+a=0,g(1{)}^2+a=0$$ である。したがって $g(-1{)}^2=g(1{)}^2$ が必要である。

ここで $$g(-1)=C-{\displaystyle \frac{1}{2}},g(1)=C+{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ だから $${(C-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={(C+{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2$$ となる。これを解いて $C=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を得る。よって $$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}}-1$$ である。また $g(-1)=-1$ なので、$f(-1)=0$ より $a=-1$ となり、$f(x)=g(x{)}^2-1$ である。

交点は $f(x)=g(x)+k$ を満たす点であるから、$g(x{)}^2-1=g(x)+k$ すなわち $g(x{)}^2-g(x)-(k+1)=0$ である。ここで $z=g(x)$ とおくと、二次方程式 $z^2-z-(k+1)=0$ を考えればよい。

一方、$$g(x)={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}}-1$$ なので、$g(x)$ の値域は $z\geqq -1$ である。さらに $z=-1$ に対しては $x=-1$ の1個、$z>-1$ に対しては $${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}}=z+1$$ から $x$ が2個得られる。

二次方程式 $z^2-z-(k+1)=0$ の判別式は $D=1+4(k+1)=4k+5$ である。 $k<-5\mathrm{/}4$ のときは $D<0$ で、実数の $z$ がないので交点は $0$ 個である。 $k=-5\mathrm{/}4$ のときは重解 $z={\displaystyle \frac{1}{2}}$ をもち、これは $-1$ より大きいので、対応する $x$ は2個である。 $-5\mathrm{/}4<k<1$ のとき、2つの根はともに $-1$ より大きい。実際、下側の根 ${\displaystyle \frac{1-\sqrt{4k+5}}{2}}$ が $-1$ より大きいことは $k<1$ と同値である。したがって各根から $x$ が2個ずつ出て、交点は4個である。 $k=1$ のとき、根は $z=-1,z=2$ である。$z=-1$ から $x$ は1個、$z=2$ から $x$ は2個出るので、交点は3個である。 $k>1$ のとき、下側の根は $-1$ より小さく不適であり、上側の根だけが $-1$ より大きい。したがって交点は2個である。

以上より、交点の個数は$$\begin{array}{cc}k& \text{交点の個数}\\ k<-{\displaystyle \frac{5}{4}}& 0\\ k=-{\displaystyle \frac{5}{4}}& 2\\ -{\displaystyle \frac{5}{4}}<k<1& 4\\ k=1& 3\\ k>1& 2\end{array}$$である。

値域 $z\geqq -1$ に制限して、水平線との交点を数える

まず $g(x)$ と $f(x)$ を決定する。交点条件を
$k=h(z)=z^2-z-1$、$z=g(x)\geqq -1$ と読み替え、
半直線 $z\geqq -1$ 上の放物線 $h$ と水平線の交点数を数える。

条件から$$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}}-1,f(x)=g(x{)}^2-1$$を得る。したがって $z=g(x)$ とおけば$$k=z^2-z-1,z\geqq -1.$$$h(z)=z^2-z-1$ は $z=1\mathrm{/}2$ で最小値 $-5\mathrm{/}4$ をとり、
左端 $z=-1$ では $h(-1)=1$ である。

$k<-5\mathrm{/}4$ では許される $z$ は0個、$k=-5\mathrm{/}4$ では1個、
$-5\mathrm{/}4<k<1$ では2個、$k=1$ では $z=-1,2$、
$k>1$ では1個である。さらに $z=-1$ には $x=-1$ の
1個が対応し、$z>-1$ には2個の $x$ が対応する。

よって交点数は$$\begin{array}{cccccc}k& k<-{\displaystyle \frac{5}{4}}& k=-{\displaystyle \frac{5}{4}}& -{\displaystyle \frac{5}{4}}<k<1& k=1& k>1\\ \text{個数}& 0& 2& 4& 3& 2\end{array}$$である。