京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) 外心を $O,O^{\mathrm{\prime }}$ とし、$$\overrightarrow{OA}=\vec{u},\overrightarrow{O^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}}={\vec{u}}^{\mathrm{\prime }}$$ とする。両者の長さは1で$$\overrightarrow{MP}={\displaystyle \frac{\vec{u}+{\vec{u}}^{\mathrm{\prime }}}{2}}\mathrm{.}$$よって $MP\leqq 1$ である。同様に $MQ,MR\leqq 1$ となる。

(2) $\mathrm{△}PQR$ の外心を原点とし、頂点の位置ベクトルを $\vec{p},\vec{q},\vec{r}$ とする。鋭角なので外心は内部にあり、正数 $\lambda ,\mu ,\nu$ により$$\lambda \vec{p}+\mu \vec{q}+\nu \vec{r}=\vec{0}$$と書ける。$M$ の位置ベクトルを $\vec{m}$ とすると、(1)から $$\mathrm{\mid }\vec{m}-\vec{p}\mathrm{\mid }\leqq 1=\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }$$ である。もし $\vec{m}\mathrm{\ne }0$ なら$$\vec{m}\cdot \vec{p}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{m}{\mathrm{\mid }}^2}{2}}>0$$で、$\vec{q},\vec{r}$ にも同じことが成り立つ。上の正係数関係と矛盾するので $\vec{m}=0$、すなわち $M$ は外心である。

従って $MP=MQ=MR=1$ である。三角不等式の等号条件から $\vec{u}={\vec{u}}^{\mathrm{\prime }}$ となり、対応する三本の半径ベクトルは三つの三角形で一致する。よって三角形は全て合同である。

(1) の三つの不等式は、中心 $M$、半径1の円板が $P,Q,R$ を含むことを意味する。鋭角三角形の最小包含円が外接円で一意であることを証明して中心を決める。

(1) 中点公式と三角不等式により $MP,MQ,MR\leqq 1$ を得る。

(2) 鋭角三角形の外心 $U$ は内部にある。従って正数 $\lambda ,\mu ,\nu$ で$$\lambda \overrightarrow{UP}+\mu \overrightarrow{UQ}+\nu \overrightarrow{UR}=\vec{0}$$と書ける。半径1の円板が三頂点を含み、その中心を $X$ とする。もし $X\mathrm{\ne }U$ なら、三つの不等式 $XP,XQ,XR\leqq 1$ を二乗すると$$\overrightarrow{UX}\cdot \overrightarrow{UP},\overrightarrow{UX}\cdot \overrightarrow{UQ},\overrightarrow{UX}\cdot \overrightarrow{UR}$$が全て正となり、上の正係数和と矛盾する。よって半径1で三頂点を含む円の中心は $U$ だけである。(1)の円板の中心 $M$ も $U$ に一致する。

以後 $MP=MQ=MR=1$ なので、対応する二本の単位半径の平均の長さが1になる。等号条件より二本は同一方向であり、三組の対応辺が等しくなる。従って三三角形は合同である。