京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(i) $y=g(x)$ は点 $P_i(x_i,f(x_i))$ における接線である。したがって、まず接点を通ることから $f(x_i)=g(x_i)$ である。また、接線の傾きは曲線のその点における微係数に等しいので $f^{\mathrm{\prime }}(x_i)=g^{\mathrm{\prime }}(x_i)$ である。

ここで $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと、上の2つの等式は $$F(x_i)=0,F^{\mathrm{\prime }}(x_i)=0$$ を意味する。多項式 $F(x)$ について、$F(x_i)=0$ なら $F(x)$ は $(x-x_i)$ で割り切れる。さらに $F^{\mathrm{\prime }}(x_i)=0$ であるから、その根は少なくとも二重根である。よって $F(x)=f(x)-g(x)$ は $(x-x_i{)}^2$ で割り切れる。

(ii) $g(x)$ は1次式であるから、$f(x)-g(x)$ は最高次係数1の4次式であり、三次の係数は $f(x)$ と同じく0である。(i)より $x_1,x_2$ はともに二重根で、しかも $x_1\mathrm{\ne }{x}_2$ だから $$f(x)-g(x)=(x-x_1{)}^2(x-x_2{)}^2$$ と書ける。

右辺を展開したとき、三次の係数は $-2(x_1+x_2)$ である。これが0であるから $x_1+x_2=0$ すなわち $x_2=-x_1$ である。特に $x_1\mathrm{\ne }0$ である。

したがって $f(x)-g(x)=(x^2-x_1^2{)}^2$ である。この式は常に0以上で、$x=-\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }$ と $x=\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }$ で0になる。よって囲まれた部分の面積は$$S={\int }_{-\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }}^{\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }}(x^2-x_1^2{)}^{2}dx$$である。被積分関数は偶関数なので$$S=2{\int }_0^{\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }}(x_1^2-x^2{)}^{2}dx$$と書ける。$a=\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^a(a^2-x^2{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^a(a^4-2a^2{x}^2+x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(a^5-{\displaystyle \frac{2a^5}{3}}+{\displaystyle \frac{a^5}{5}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^5(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{15}}{a}^5}\end{array}$$である。したがって $$S={\displaystyle \frac{16}{15}}\mathrm{\mid }{x}_1{\mathrm{\mid }}^5$$ である。

接点が二重根になることから $f-g=(x^2-a^2{)}^2$ まで決める。積分では $x=au$ と置いて大きさを $a^5$ に分離し、固定積分だけを計算する。曲線と共通接線の位置関係も図で確認する。

(i)
接点 $x=x_i$ では値と傾きが一致するので$$f(x_i)-g(x_i)=0,f^{\mathrm{\prime }}(x_i)-g^{\mathrm{\prime }}(x_i)=0.$$したがって $x_i$ は $f-g$ の二重根であり，$(x-x_i{)}^2$ で割り切れる。

(ii)
$f-g$ は最高次係数1の4次式で，異なる二重根 $x_1,x_2$ をもつから$$f(x)-g(x)=(x-x_1{)}^2(x-x_2{)}^2\mathrm{.}$$三次係数が0であることから $x_1+x_2=0$ である。$a=\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>0$ とおくと$$f(x)-g(x)=(x^2-a^2{)}^2\mathrm{.}$$よって $x=au$ と変数変換すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^a(a^2-x^2{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^5{\int }_0^1(1-u^2{)}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^5(1-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{15}}{a}^5\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{16}{15}}\mathrm{\mid }{x}_1{\mathrm{\mid }}^5$$である。