京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$A_k=a_1+\cdots +a_k(1\leqq k<n)$$ とおく。もし $A_k\geqq 0$ なら、$a_k\leqq 0$ のときは全ての $a_1,\dots ,a_k$ が負で矛盾し、$a_k>0$ のときは$$a_{k+1}+\cdots +a_n>0$$となって総和0に矛盾する。よって $A_k<0$ である。

したがって全ての尾部和は$$a_{k+1}+\cdots +a_n=-A_k>0.$$一方、$$\sum _{i=1}^{n}i{a}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}+\cdots +a_n)=\sum _{k=1}^{n-1}(-A_k)>0.$$これで示された。

総和0を用いて、重み付き和を $(j-i)(a_j-a_i)$ の全組合せの和に直す。各項が非負で、少なくとも一つが正であることを確認する。

恒等式$$n\sum _{i=1}^{n}i{a}_i-\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)=\sum _{1\leqq i<j\leqq n}(j-i)(a_j-a_i)$$が成り立つ。実際、右辺で $a_k$ の係数を集めると $nk-n(n+1)\mathrm{/}2$ となり、左辺と一致する。

いま $$\sum a_i=0$$ だから$$n\sum _{i=1}^{n}i{a}_i=\sum _{i<j}(j-i)(a_j-a_i)\mathrm{.}$$$i<j$ なら $j-i>0$、また単調性より $a_j-a_i\geqq 0$ である。全ての差が0なら全ての $a_i$ が等しく、総和0から全て0となって仮定に反する。よって少なくとも一項は正であり、右辺は正である。したがって $$\sum i{a}_i>0$$ である。