京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$S=a_1+a_2+\cdots +a_n$ とおく。条件は、各 $i$ について $$a_i\leqq \frac{S-a_i}{n-1}$$ である。$n\geqq 3$ なので $n-1>0$ であり、両辺を $n-1$ 倍して整理すると $(n-1)a_i\leqq S-a_i$ すなわち $n{a}_i\leqq S$ を得る。 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ の最大値を $M$ とする。最大値をとる項にも $n{a}_i\leqq S$ を適用できるから $nM\leqq S$ である。一方、すべての $a_i$ は $M$ 以下なので $$S=a_1+a_2+\cdots +a_n\leqq nM$$ である。よって $S=nM$ である。

各 $a_i\leqq M$ であり、$n$ 個の和が $nM$ に等しい。もし $M$ より小さい項が1つでもあれば和は $nM$ より小さくなるので、すべての項が $M$ に等しい。したがって $a_1=a_2=\cdots =a_n$ である。

逆に、$a_1=a_2=\cdots =a_n$ ならば、各 $a_i$ は他の $n-1$ 個の相加平均に等しい。したがって条件を満たす。

以上より、求める組は $a_1=a_2=\cdots =a_n$ を満たすもの全てである。

別解。$n{a}_i\leqq S$ を全ての $i$ について足すと、左辺も右辺も $nS$ になる。各差 $S-n{a}_i$ は $0$ 以上で、その和が $0$ であるから、全て $S-n{a}_i=0$ である。よって $a_i=S\mathrm{/}n$ が全ての $i$ で成り立ち、全て等しい。