京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$t=x^2$ とおくと $t\geqq 0$ であり、$$x^4+2a{x}^2-a+2=t^2+2at-a+2=:F_a(t)$$である。方程式が実数解をもたないための必要十分条件は、$t\geqq 0$ で $F_a(t)>0$ となることである。

$a\geqq 0$ のとき、頂点 $t=-a$ は $t\leqq 0$ にあるので、$t\geqq 0$ での最小値は$$F_a(0)=2-a$$である。これが正である条件は $0\leqq a<2$ である。

$a<0$ のとき、頂点 $t=-a$ は許された範囲にあり、最小値は$$F_a(-a)=-a^2-a+2$$である。これが正である条件は$$a^2+a-2<0$$すなわち $-2<a<1$ であり、$a<0$ と合わせて $-2<a<0$ となる。以上より$$-2<a<2$$である。

(2)

(1) の範囲で$$m(a)=\{\begin{array}{ll}-a^2-a+2& (-2<a<0),\\ 2-a& (0\leqq a<2)\end{array}$$である。前者は$$-a^2-a+2=-{(a+\frac{1}{2})}^2+\frac{9}{4}$$だから、$a=-1\mathrm{/}2$ のとき最大値 $9\mathrm{/}4$ をとる。後者の最大値は $a=0$ のときの2である。したがって$$\max m(a)=\frac{9}{4}$$である。

(1) $t=x^2\geqq 0$ とした後、方程式を $a$ について解き、$a=(t^2+2)\mathrm{/}(1-2t)$ の値域を調べる。実数解をもつ $a$ の範囲の補集合が答えになる。(2) 任意の $a$ に対して $t=1\mathrm{/}2$ を代入すれば最小値は $9\mathrm{/}4$ 以下になる。$a=-1\mathrm{/}2$ で式全体が平方完成され、この上界が実現することを示す。

(1)

$t=x^2\geqq 0$ とおく。方程式は$$t^2+2at-a+2=0$$である。$t=1\mathrm{/}2$ では左辺が $9\mathrm{/}4$ となって0ではない。したがって実数解をもつ場合は$$a=\frac{t^2+2}{1-2t}$$と表される。

$0\leqq t<1\mathrm{/}2$ では分母は正である。この関数の導関数の分子は$$-2t^2+2t+4=-2(t-2)(t+1)>0$$だから単調に増加し、値域は $[2,\mathrm{\infty })$ である。

$t>1\mathrm{/}2$ では、$t=1\mathrm{/}2$ の右で負の無限大へ下がり、$t=2$ まで増加して$$\frac{2^2+2}{1-2\cdot 2}=-2$$をとり、その後は減少する。よってこの側の値域は $(-\mathrm{\infty },-2]$ である。

したがって方程式が実数解をもつのは$$a\leqq -2\text{または}a\geqq 2$$である。その補集合を取って、実数解をもたない範囲は$$-2<a<2$$となる。

(2)

$F_a(t)=t^2+2at-a+2$ とする。どの $a$ に対しても、最小値は特定の値 $t=1\mathrm{/}2$ における値以下なので$$m(a)\leqq F_a\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}$$である。

一方 $a=-1\mathrm{/}2$ は (1) の範囲内にあり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_{-1\mathrm{/}2}(t)}& {\displaystyle =t^2-t+\frac{5}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{9}{4}}\end{array}$$となる。$t=1\mathrm{/}2\geqq 0$ で等号が実現するから $m(-1\mathrm{/}2)=9\mathrm{/}4$ である。したがって $m(a)$ の最大値は$$\frac{9}{4}$$である。