京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

二次方程式が実根をもつ条件は$$(-2a{)}^2-4(3a-2)\geqq 0,$$すなわち$$(a-1)(a-2)\geqq 0.$$よって$$a\leqq 1\text{または}a\geqq 2.$$最初の二つの不等式は、原点を頂点とし $y=x$、$y=-x$ を辺とする右向きの角を表す。第三の境界線は$$3x-ay=3\beta$$である。上側の辺 $y=x$ との交点の x 座標は$${\displaystyle \frac{3\beta }{3-a}},$$下側の辺 $y=-x$ との交点の x 座標は$${\displaystyle \frac{3\beta }{3+a}}$$である。非退化な三角形になるための必要十分条件は、両方が正で、第三の半平面が角の先端側を残すことである。したがって$$\beta >0,-3<a<3.$$根の和と積は$$\alpha +\beta =2a,\alpha \beta =3a-2.$$$a\leqq 1$ の範囲では、両根が正、すなわち小さい根 $\beta$ が正となる条件は$$2a>0,3a-2>0,$$より ${\displaystyle \frac{2}{3}}<a\leqq 1$ である。$a\geqq 2$ なら和と積がともに正なので両根は正であり、図形条件 $-3<a<3$ と合わせて $2\leqq a<3$ となる。

以上より$${\displaystyle \frac{2}{3}}<a\leqq 1\text{または}2\leqq a<3$$である。

図形条件 $\beta >0$、$-3<a<3$ を先に確定する。小さい根を根の公式で明示し、実根条件 $a\leqq 1$ または $a\geqq 2$ の各範囲で不等式 $\beta >0$ を解く。

三角形を作る図形条件は、第三の直線が右向きの角の二辺を正の位置で切ることから$$\beta >0,-3<a<3.$$また実根条件は$$(a-1)(a-2)\geqq 0,$$すなわち $a\leqq 1$ または $a\geqq 2$ である。

小さい根は$$\beta =a-\sqrt{(a-1)(a-2)}$$である。$a\leqq 1$ のとき、$\beta >0$ ならまず $a>0$ が必要である。そのもとで両辺を2乗すると$$a^2>(a-1)(a-2)$$となり、これは$$3a>2$$と同値である。よって ${\displaystyle \frac{2}{3}}<a\leqq 1$ である。

$a\geqq 2$ のときは$$a^2-(a-1)(a-2)=3a-2>0$$なので常に $\beta >0$ である。図形条件を合わせると $2\leqq a<3$ となる。

したがって求める範囲は$${\displaystyle \frac{2}{3}}<a\leqq 1\text{または}2\leqq a<3$$である。