京大 1989年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

5個の和を $S$ とおくと、「他の4つの相加平均より大きくはない」は $a_{i} ≦ (S - a_{i}) / 4$ 、すなわち $5 a_{i} ≦ S$ に直る。最大値 $M$ にこの不等式を適用して $5 M ≦ S$ を得る一方、全ての項が $M$ 以下なので $S ≦ 5 M$ である。両側から等号が強制されるため、すべての項が最大値に等しい。最後に、全て等しい組が確かに条件を満たすことを確認する。

解答

5個の和を $S = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ とおく。条件は、各 $i$ について $a_{i} ≦ \frac{S - a_{i}}{4}$ である。両辺を4倍して整理すると $5 a_{i} ≦ S$ となる。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ の最大値を $M$ とする。最大値をとる項にも上の不等式を適用できるので $5 M ≦ S$ である。一方、すべての $a_{i}$ は $M$ 以下だから $S = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} ≦ 5 M$ である。したがって $S = 5 M$ でなければならない。

ところが、各 $a_{i} ≦ M$ であり、その和が $5 M$ に等しい。もしある $a_{i}$ が $M$ より小さければ和は $5 M$ より小さくなるので、すべての項が $M$ に等しい。すなわち $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5}$ である。

逆に、 $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5}$ であるとき、各 $a_{i}$ は他の4つの相加平均に等しい。したがって条件を満たす。

以上より、求めるものは $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5}$ を満たす5つの実数すべてである。

別解。 $5 a_{i} ≦ S$ を $i = 1, 2, 3, 4, 5$ について足すと、左辺も右辺も $5 S$ になる。各不等式の左辺と右辺の差 $S - 5 a_{i}$ はすべて $0$ 以上で、その和が $0$ であるから、各差はすべて $0$ である。よって $5 a_{i} = S$ が全ての $i$ で成り立ち、やはり5つはすべて等しい。

総評

最大値に注目する短い不等式問題で、8分程度で確実に取りたい。条件を $5 a_{i} ≦ S$ に直せば、最大値 $M$ との比較で一気に等号へ追い込める。ありがちなミスは、「全て等しい」が必要条件であることだけを示して、逆にその組が条件を満たす確認を落とすことである。別解のように5本の不等式を足して等号条件を読む方法も有効で、答案を短くまとめたいときに使える。

出典: 京都大学 1989年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

総評

京都大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問