京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$0<x<1$ だから $1-x>0$ である。両辺を $1-x$ で割ると、示すべき不等式は$$\frac{1+x+x^2}{3}>\frac{\sqrt{x}(1+x)}{2}$$と同値である。$$t=\sqrt{x}$$ とおくと $0<t<1$、$x=t^2$ である。両辺の差を6倍すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2(1+t^2+t^4)-3t(1+t^2)}& {\displaystyle =2t^4-3t^3+2t^2-3t+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-t{)}^2(2t^2+t+2)}\end{array}$$となる。

$0<t<1$ なので $(1-t{)}^2>0$ であり、$2t^2+t+2>0$ である。したがって差は正であり、$$\frac{1-x^3}{3}>\frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}$$が成り立つ。

左辺から右辺を引いた関数 $F(x)$ を置き、導関数の符号を調べる。$t=\sqrt{x}$ とすると導関数の符号は $5t^4-4t^5-1$ で決まる。この式の主要部分 $5t^4-4t^5$ が $0<t<1$ で単調増加し、1より小さいことを示す。$F$ は1へ向かって単調減少し $F(1)=0$ なので、開区間内では正になる。

差を$$F(x)=\frac{1-x^3}{3}-\frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}$$とおく。$0<x<1$ で微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2-\frac{1}{4\sqrt{x}}+\frac{5}{4}{x}^{3\mathrm{/}2}=\frac{-1+5x^2-4x^{5\mathrm{/}2}}{4\sqrt{x}}$$である。$$t=\sqrt{x}$$ とおけば $0<t<1$ で、分子は$$-1+5t^4-4t^5$$となる。ここで $H(t)=5t^4-4t^5$ とおくと$$H^{\mathrm{\prime }}(t)=20t^3(1-t)>0$$だから、$H$ は $0<t<1$ で単調に増加する。したがって$$H(t)<H(1)=1$$であり、$F^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。

よって $F$ は $0<x<1$ で単調に減少する。また連続に端まで延長すれば $F(1)=0$ であるから、$0<x<1$ では$$F(x)>F(1)=0$$となる。したがって求める不等式が成り立つ。