京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1)
円周に使う針金の長さを $x$ とする。すると円の半径は ${\displaystyle \frac{x}{2\pi }}$ であるから、円の面積は $$\pi {\left({\displaystyle \frac{x}{2\pi }}\right)}^2={\displaystyle \frac{x^2}{4\pi }}$$ である。

残りの長さは $1-x$ である。長方形の2辺の長さを $u,ku$ とすると、周の長さは $2u+2ku=2(1+k)u$ である。したがって $2(1+k)u=1-x$ より $$u={\displaystyle \frac{1-x}{2(1+k)}}$$ である。長方形の面積は $$k{u}^2={\displaystyle \frac{k(1-x{)}^2}{4(1+k{)}^2}}$$ となる。

したがって面積の和を $T(x)$ とすると $$T(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4\pi }}+{\displaystyle \frac{k(1-x{)}^2}{4(1+k{)}^2}}$$ である。これは $x$ について上に開く2次式である。微分すると $$T^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{2\pi }}-{\displaystyle \frac{k(1-x)}{2(1+k{)}^2}}$$ だから、最小となる $x$ は $${\displaystyle \frac{x}{\pi }}={\displaystyle \frac{k(1-x)}{(1+k{)}^2}}$$ を満たす。これを解くと $$x={\displaystyle \frac{\pi k}{(1+k{)}^2+\pi k}}$$ である。よって、円に使う長さを ${\displaystyle \frac{\pi k}{(1+k{)}^2+\pi k}}$ とし、長方形に使う長さを ${\displaystyle \frac{(1+k{)}^2}{(1+k{)}^2+\pi k}}$ とすればよい。

(2)
(1)の最小値を求める。$T^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を満たす $x$ を代入してもよいが、ここでは係数を整理して計算する。 $$T(x)={\displaystyle \frac{1}{4\pi }}{x}^2+{\displaystyle \frac{k}{4(1+k{)}^2}}(1-x{)}^2$$ の最小値は $$S(k)={\displaystyle \frac{k}{4\{(1+k{)}^2+\pi k\}}}$$ である。分母を $k$ で割ると $$S(k)={\displaystyle \frac{1}{4(k+{\displaystyle \frac{1}{k}}+2+\pi )}}$$ である。 $k>0$ について $k+{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq 2$ であり、等号は $k=1$ のときに成り立つ。$S(k)$ は分母が小さいほど大きいので、$S(k)$ が最大となるのは $k=1$ のときである。

円周に使う長さを $x$ とし、面積和を $A{x}^2+B(1-x{)}^2$ と書く。この一般形を平方完成して最小点と最小値を同時に求める。

(1)
円周に使う長さを $x$、長方形の周に使う長さを $1-x$ とする。面積の和は$$T(x)=A{x}^2+B(1-x{)}^2,A={\displaystyle \frac{1}{4\pi }},B={\displaystyle \frac{k}{4(1+k{)}^2}}$$である。平方完成すると$$T(x)=(A+B){(x-{\displaystyle \frac{B}{A+B}})}^2+{\displaystyle \frac{AB}{A+B}}\mathrm{.}$$したがって最小となる切り方は$$x={\displaystyle \frac{\pi k}{(1+k{)}^2+\pi k}},1-x={\displaystyle \frac{(1+k{)}^2}{(1+k{)}^2+\pi k}}$$である。左が円周、右が長方形の周に使う長さである。

(2)
最小値は$$S(k)={\displaystyle \frac{k}{4\{(1+k{)}^2+\pi k\}}}={\displaystyle \frac{1}{4(k+k^{-1}+2+\pi )}},k+{\displaystyle \frac{1}{k}}\geqq 2.$$等号は $k=1$ のときに限る。したがって分母が最小、すなわち $S(k)$ が最大となるのは $k=1$ である。