京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

直線は $y=u^3+a{u}^2+b(x-u)$ である。曲線との交点条件は$$(x-u)\{x^2+(u+a)x+u^2+au-b\}=0.$$別の交点が存在するための判別式は$$\mathrm{\Delta }(u)=a^2-2au-3u^2+4b\mathrm{.}$$$\mathrm{\Delta }$ は $u$ について上に凸ではなく下に開くので、$-1<u<1$ 全体で非負となるための必要十分条件は両端極限が非負であること、すなわち$$a^2+2a+4b-3\geqq 0,a^2-2a+4b-3\geqq 0.$$境界の場合も開区間内では $\mathrm{\Delta }(u)>0$ となるので、$x=u$ だけが残る例外はない。したがって$$b\geqq {\displaystyle \frac{3-a^2+2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{4}}\mathrm{.}$$求める領域はこの折れた二つの放物線の上側である。

判別式を端点での値の一次補間と正の項 $3(1-u^2)$ の和に分解する。これにより両端条件が開区間全体に十分であることを直接示す。

解法1と同じ因数分解から、必要な条件は$$\mathrm{\Delta }(u)=a^2-2au-3u^2+4b\geqq 0(-1<u<1)$$である。端点へ近づければ$$\mathrm{\Delta }(-1)=a^2+2a+4b-3\geqq 0,\mathrm{\Delta }(1)=a^2-2a+4b-3\geqq 0$$が必要である。

逆にこの二式を仮定する。直接計算すると$$\mathrm{\Delta }(u)={\displaystyle \frac{1-u}{2}}\mathrm{\Delta }(-1)+{\displaystyle \frac{1+u}{2}}\mathrm{\Delta }(1)+3(1-u^2)\mathrm{.}$$$-1<u<1$ では最後の項が正で、前二項は非負だから $\mathrm{\Delta }(u)>0$ である。よって別の実交点が必ず存在する。両端条件をまとめれば$$b\geqq {\displaystyle \frac{3-a^2+2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{4}}$$となる。