京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$f(x)=-x^3+2x^2$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+4x$$である。接点を $(t,f(t))$ とする。この点での接線が原点を通る条件は$$f(t)=t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$$である。したがって$$-t^3+2t^2=t(-3t^2+4t)$$より$$2t^2(t-1)=0$$となる。接点は原点以外なので $t=1$ であり、接点は $(1,1)$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$ だから接線は $y=x$ となる。

曲線と直線の差は$$f(x)-x=-x(x-1{)}^2$$である。交点は $x=0,1$ であり、$0<x<1$ では $f(x)<x$ である。よって囲まれた面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{x-(-x^3+2x^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}}\end{array}$$である。

原点を通る接線を $y=mx$ とおく。曲線との共有点方程式を因数分解すると、原点以外の交点は2次方程式の根になる。接するためにはその根が重根でなければならないので、判別式0から傾き $m$ と接点を同時に決める。最後に差の符号を確認して面積を積分する。

原点を通る直線を$$y=mx$$とおく。この直線と曲線の共有点は$$-x^3+2x^2=mx$$を満たすから$$x(x^2-2x+m)=0$$である。原点以外の点でこの直線が曲線に接するためには、2次方程式$$x^2-2x+m=0$$が重根をもてばよい。その判別式を0とすると$$4-4m=0$$より $m=1$ である。重根は $x=1$ なので、接線は $y=x$、接点は $(1,1)$ となる。

曲線との差は$$x-(-x^3+2x^2)=x(x-1{)}^2$$であり、$0<x<1$ で正である。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}x(x-1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{12}}\end{array}$$である。