京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$h(x)=x^2+ax+b$ で割った余りを調べる。$h(x)=0$ とみなして計算すれば $x^2\equiv -ax-b$ である。さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3}& {\displaystyle =x\cdot x^2\equiv x(-ax-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-a{x}^2-bx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv -a(-ax-b)-bx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2-b)x+ab}\end{array}$$である。

まず $f(x)$ の余りを求める。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =a{x}^3+(a^2+b)x^2+(2ab+c)x+a^2+b^2-a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv a\{(a^2-b)x+ab\}+(a^2+b)(-ax-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(2ab+c)x+a^2+b^2-a\mathrm{.}}\end{array}$$ $x$ の係数は $$a(a^2-b)-a(a^2+b)+2ab+c=c$$ であり、定数項は $$a^{2}b-b(a^2+b)+a^2+b^2-a=a^2-a$$ である。したがって $f(x)$ の余りは $cx+a^2-a$ である。よって $f(x)$ が $h(x)$ で割り切れる条件は $c=0,a^2-a=0$ である。$a\mathrm{\ne }0$ より、これは $a=1,c=0$ と同値である。

次に $g(x)$ の余りを求める。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =a{x}^3+(a^2-b)x^2+(a-1)x+c^2-b^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv a\{(a^2-b)x+ab\}+(a^2-b)(-ax-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(a-1)x+c^2-b^2\mathrm{.}}\end{array}$$ $x$ の係数は $$a(a^2-b)-a(a^2-b)+a-1=a-1$$ であり、定数項は $$a^{2}b-b(a^2-b)+c^2-b^2=c^2$$ である。したがって $g(x)$ の余りは $(a-1)x+c^2$ である。よって $g(x)$ が $h(x)$ で割り切れる条件は $a-1=0,c^2=0$ すなわち $a=1,c=0$ である。

以上より、$f(x)$ が $h(x)$ で割り切れる条件と、$g(x)$ が $h(x)$ で割り切れる条件はどちらも $a=1,c=0$ で一致する。したがって、$f(x),g(x)$ はともに $h(x)$ で割り切れるか、またはともに $h(x)$ では割り切れない。

$f,g$ が $h$ で割り切れると仮定し、先頭係数から商を一次式に限定する。積を展開して係数比較すれば、どちらも同じ条件 $a=1,c=0$ に帰着する。

まず $f(x)$ が $h(x)=x^2+ax+b$ で割り切れるとする。先頭項が $a{x}^3$ なので、商は $ax+\lambda$ と書ける。展開すると$$(x^2+ax+b)(ax+\lambda )=a{x}^3+(a^2+\lambda )x^2+(ab+a\lambda )x+b\lambda \mathrm{.}$$$f(x)$ の $x^2$ の係数と比較して $\lambda =b$ である。すると $x$ の係数比較から$$2ab=2ab+c$$となるので $c=0$ である。さらに定数項の比較から$$b^2=a^2+b^2-a$$であり、$a(a-1)=0$ を得る。仮定 $a\text{neqq}0$ より $a=1$ である。逆に $a=1,c=0$ なら全ての係数が一致するから、$f$ は $h$ で割り切れる。

次に $g(x)$ が $h(x)$ で割り切れるとする。商を $ax+\mu$ とおくと$$(x^2+ax+b)(ax+\mu )=a{x}^3+(a^2+\mu )x^2+(ab+a\mu )x+b\mu \mathrm{.}$$$x^2$ の係数比較から $\mu =-b$ である。このとき積の $x$ の係数は0、定数項は $-b^2$ だから、$g$ との比較により$$a-1=0,c^2-b^2=-b^2$$を得る。すなわち $a=1,c=0$ であり、逆も成り立つ。

したがって $f,g$ が $h$ で割り切れる条件はともに $a=1,c=0$ で一致する。よって題意が成り立つ。