京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

方程式へ $u+v\sqrt{3}$ を代入すると$$u^2+3v^2+au+b+v(2u+a)\sqrt{3}=0.$$$\sqrt{3}$ は無理数で、各係数は有理数だから$$u^2+3v^2+au+b=0,v(2u+a)=0$$である。

まず $v=0$ の場合、$u$ は整数係数のモニック多項式の有理根なので整数であり、結論が成り立つ。

以下 $v\mathrm{\ne }0$ とする。このとき$$2u=-a$$なので $2u$ は整数である。また共役数 $u-v\sqrt{3}$ ももう一つの解となり、解の積から$$u^2-3v^2=b\mathrm{.}$$$m=2u$ とおけば$$3(2v{)}^2=m^2-4b$$は整数である。$2v=r\mathrm{/}s$ を互いに素な整数 $r,s>0$ で表すと$$3r^2=s^2(m^2-4b)\mathrm{.}$$従って $s^2$ は3を割るので $s=1$ であり、$2v$ も整数である。

そこで$$m=2u,n=2v$$を整数とすると$$m^2-3n^2=4b$$である。平方数を4で見れば0または1である。もし $n$ が奇数なら左辺は $m^2-3$ となり0にはならないので矛盾する。従って $n$ は偶数であり、上式から $m^2$ も4の倍数、従って $m$ も偶数である。

よって$$u={\displaystyle \frac{m}{2}},v={\displaystyle \frac{n}{2}}$$はともに整数である。

根 $\theta =u+v\sqrt{3}$ とその共役 ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=u-v\sqrt{3}$ を Vieta の公式で扱う。$v=0$ を先に分け、$v\mathrm{\ne }0$ では和と積から $2u,2v$ の整数性を導き、最後に4を法とする偶奇だけで半整数の可能性を除く。

$\theta =u+v\sqrt{3}$ と置く。代入して無理部分を比較すると$$v(2u+a)=0.$$$v=0$ なら $\theta =u$ は整数係数モニック多項式の有理根なので $u\in \mathbb{Z}$ である。

$v\mathrm{\ne }0$ なら$$2u=-a\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$共役 ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=u-v\sqrt{3}$ も根で、Vieta の公式から$$u^2-3v^2=b\mathrm{.}$$$m=2u$ と置けば$$3(2v{)}^2=m^2-4b\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$$2v=r\mathrm{/}s$ を既約分数とすると $s^2\mid 3r^2$ なので $s=1$。従って $n=2v\in \mathbb{Z}$ で$$m^2-3n^2=4b\mathrm{.}$$$n$ が奇数なら左辺は4を法として $m^2-3$ となり0にならない。よって $n$ は偶数であり、式から $m$ も偶数である。従って$$u={\displaystyle \frac{m}{2}},v={\displaystyle \frac{n}{2}}$$はともに整数である。