京都大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $(x,y)\in C_2$ の像の長さの2乗は$$(ax+by{)}^2+(cx+dy{)}^2\mathrm{.}$$これが $10x^2+14xy+5y^2$ に一致するので$$a^2+c^2=10,b^2+d^2=5,ab+cd=7.$$非負整数より$$(a,c)=(1,3),(3,1),(b,d)=(1,2),(2,1)\mathrm{.}$$内積が7となる候補は $(a,c)=(1,3),(b,d)=(1,2)$ と
$(a,c)=(3,1),(b,d)=(2,1)$ である。前者は $ad-bc=-1$、後者は1だから$$(a,b,c,d)=(3,2,1,1)\mathrm{.}$$(2) 得られた行列は整数成分で行列式1なので、整数格子点を整数格子点へ全単射に移す。従って $C_2$ 上の整数点は、単位円 $C_1$ 上の整数点$$(\pm 1,0),(0,\pm 1)$$と1対1に対応する。求める個数は$$4$$である。