京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 単位行列を $I$ とする。成分を計算すると$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$$である。これに $A^n$ を掛け、左下成分を比較すれば、$n\geqq 0$ について$$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0$$を得る。

(2) $T=a+d,D=ad-bc$ とおき、法 $p$ で考える。仮定は $T\equiv ̸0$ である。

まず $D\equiv ̸0$ の場合、漸化式を $D{c}_n=T{c}_{n+1}-c_{n+2}$ と書ける。$$c_k\equiv c_{k+1}\equiv 0$$ から前向きに $c_n\equiv 0(n\geqq k)$ を得る。また $D\equiv ̸0$ なので逆向きにも $c_{k-1},c_{k-2},\dots$ が順に0となる。

次に $D\equiv 0$ の場合、漸化式は $c_{n+2}\equiv T{c}_{n+1}$ となる。したがって $n\geqq 1$ で $c_n\equiv T^{n-1}{c}_1$ である。$T\equiv ̸0$ であり $c_k\equiv 0$ だから $c_1\equiv 0$ となり、すべての $n\geqq 1$ で $c_n\equiv 0$ である。また $c_0=0$ である。

いずれの場合も、すべての $n\geqq 0$ について $c_n$ は $p$ で割り切れる。

法 $p$ の行列として、行列式が0か否かで分ける。可逆な場合は上三角行列の逆を使い、行列式0の場合は $A^2\equiv (a+d)A$ から全べきの形を直接求める。

(1) $$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$を直接確認し、両辺に $A^n$ を掛けて左下成分を比較すれば$$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0(n\geqq 0)$$を得る。

(2)
$T=a+d,D=ad-bc$ とし、法 $p$ で考える。

$D\equiv ̸0$ のとき $A$ は可逆である。$$c_k\equiv c_{k+1}\equiv 0$$ だから $A^k,A^{k+1}$ は上三角行列であり、$$A=A^{k+1}(A^k{)}^{-1}$$も上三角行列となる。よってすべての $A^n$ の左下成分は0である。

$D\equiv 0$ のとき、(1)の行列恒等式は$$A^2\equiv TA$$となる。帰納的に$$A^n\equiv T^{n-1}A(n\geqq 1)$$であり、$$c_n\equiv T^{n-1}{c}_1\mathrm{.}$$仮定より $T\equiv ̸0$ なので、$k\geqq 1$ なら
$c_k\equiv 0$ から $c_1\equiv 0$ を得る。$k=0$ なら仮定に
$c_1\equiv 0$ が含まれる。したがってこの場合もすべての $c_n$ が0である。

以上より、すべての $n\geqq 0$ について $p\mid c_n$ である。