京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) 単位行列を $I$ とする。直接計算により$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$$が成り立つ。両辺に $A^n$ を掛けると$$A^{n+2}-(a+d)A^{n+1}+(ad-bc)A^n=O$$である。左下成分を比較して$$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0$$を得る。

(2) $D=ad-bc$ とおく。仮定より $D$ は $p$ で割り切れない。$c_k,c_{k+1}$ がともに $p$ で割り切れるとする。(1)の漸化式から、$c_n,c_{n+1}$ がともに $p$ で割り切れれば $c_{n+2}$ もそうである。よって $n\geqq k$ のすべての $c_n$ は $p$ で割り切れる。

一方、漸化式を$$D{c}_n=(a+d)c_{n+1}-c_{n+2}$$と書く。右辺が $p$ で割り切れれば $D{c}_n$ も割り切れるが、$D$ は $p$ で割り切れないから、素数 $p$ の性質により $c_n$ が $p$ で割り切れる。これを $n=k-1,k-2,\dots$ と順に用いれば、$n<k$ についてもすべて成り立つ。以上より、すべての自然数 $n$ について $c_n$ は $p$ で割り切れる。

(1) は特性多項式を直接確認する。(2)は法 $p$ の行列として考え、行列式が0でないことから $A$ を可逆にし、上三角行列の積と逆行列を使う。

(1)
直接計算すると$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\mathrm{.}$$両辺に $A^n$ を掛け、左下成分をとれば$$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0.$$(2)
以下、成分を法 $p$ で考える。$p\nmid (ad-bc)$ だから $A$ は可逆であり、
すべての $A^n$ も可逆である。$$c_k\equiv c_{k+1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$ より、$A^k,A^{k+1}$ はともに
上三角行列である。可逆な上三角行列の逆行列も上三角行列だから$$A=A^{k+1}(A^k{)}^{-1}$$も上三角行列である。したがってすべての整数 $n\geqq 1$ について
$A^n$ は上三角行列となり、その左下成分は$$c_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$n=0$ を自然数に含める場合も、$A^0=E$ なので $c_0=0$ である。